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403

Conception d’un automate cellulaire non stationnaire à base de graphe pour modéliser la structure spatiale urbaine: le modèle Remus

Conceiving a graph-based non-stationary cellular automata to model the urban spatial structure: the Remus model
Dominique Badariotti, Arnaud Banos et Diego Moreno

Résumés

Nous proposons dans cet article une formalisation originale des automates cellulaires géographiques, à même de mieux prendre en compte grâce à une structure de graphe le voisinage irrégulier et dynamique d’entités spatiales. Le modèle Remus permet ainsi de représenter sous la forme d’un graphe mathématique les entités spatiales du bâti et les réseaux de transport urbain (graphe urbain) ; il permet aussi de calculer la distance-temps entre bâtiments par le réseau. Le modèle Remus permet l’extraction de différents graphes, dont le graphe fonctionnel des distances-temps entre les immeubles et le graphe de relations de voisinage qui représente le voisinage par le réseau pour un certain seuil de temps de trajet et pour un mode de transport donné.

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Notes de l’auteur

Les auteurs tiennent à remercier Bruno Jobard, Damien Dutoya et Guy Verel, du département d’informatique de l’Université de Pau et des Pays de l’Adour pour leur contribution à ce travail, à travers le développement de l’application REMUS.

Texte intégral

Introduction

1Aujourd’hui, de plus en plus de travaux d’étude ou de recherche s’intéressent au lien étroit qui  relie la morphologie de la ville et son bon fonctionnement.

2La thématique des déplacements urbains est évidemment le premier sujet d’intérêt dans ce domaine, d’où les nombreux travaux publiés ces dernières années sur le rôle des déplacements urbains sur la structuration de la ville (Dupuy, 1995 ; Dubois-Taine et Chalas, 1997 ; Wiel, 2002). A l’inverse on a également effectué des études sur le rôle de la morphologie sur la structuration des déplacements urbains : la variabilité de l’offre selon la morphologie (Gourdon, 1997), le rôle de l’organisation  morphofonctionnelle des réseaux routiers sur les préférences de mode de déplacement (Genre-Grandpierre, 2001 ; Gourdon, 2001) et notamment sur la mobilité piétonne (Vernez Moudon et al., 1997 ; Genre-Grandpierre et Foltête, 2003).

3Par ailleurs, Hillier et Hanson ont développé dès 1984 une conceptualisation de la prise en compte d’un lien général entre la société urbaine et son espace avec la définition de la « space syntax ». Dans ce cadre, ils ont développé une théorisation de l’espace urbain comme un nouvel ordre spatial reposant exclusivement sur un processus aléatoire cadré par des règles d’urbanisme. Ils ont également développé un outil d’analyse et de représentation de la logique sociale de l’espace (social logic of space) et de la logique spatiale des sociétés (spatial logic of society)  inspiré de la théorie des graphes.

4D’autres auteurs enfin (Batty et Longley, 1986 ; Frankhauser, 1991 et 1994 ; De Keersmaecker, Frankhauser, Thomas, 2003) ont étudié le rôle joué par les aménités recherchées par la population ou les activités, et offertes par la morphologie urbaine dans la structuration fractale des villes. La forme fractale des villes, et de ses quartiers, résulterait d’une optimisation de la couverture de l’espace par les formes bâties permettant de favoriser la fonction exercée localement. Dans le cas de l’habitat par exemple, cette optimisation répond à la fois à la contrainte de centralité, qui valorise l’accessibilité au CBD, et au désir de se trouver aussi en périphérie urbaine, à proximité de la nature.

5De nombreuses approches ont ainsi contribué à la redécouverte que la dynamique du système urbain dépendait de la structure morphologique actuelle de la ville, …  et engendrait sa structure future par autopoièse. Pour mieux comprendre le fonctionnement de la ville, et mieux évaluer l’impact des politiques d’aménagement menées, il fait donc sens de chercher à mieux comprendre sa forme.

6Les automates cellulaires offrent un cadre conceptuel et méthodologique particulièrement approprié pour explorer, de manière expérimentale, les relations entre fonctionnement et forme. Toutefois, en dépit d’apports importants de la communauté des géographes au formalisme mathématique et informatique des automates cellulaires dans l’objectif de mieux prendre en compte les spécificités de l’espace et des processus géographiques (Ménard et al., 2004), une caractéristique essentielle nous semble aujourd’hui encore faire défaut. Les relations de voisinage entre unités géographiques sont en effet le plus souvent déterminées selon des critères topologiques (contiguïté) ou métriques (distance euclidienne) reposant implicitement sur une hypothèse de stationnarité et d’isotropie, deux options qui traduisent peu ou mal les différenciations spatiales induites par les réseaux et les modes de transport.

7Dans cette perspective, nous proposons un automate cellulaire à base de graphes mathématiques permettant de mieux rendre compte, à terme, de l’impact de la morphologie sur le fonctionnement et l’évolution des systèmes urbains. À cet effet, nous nous intéressons plus précisément aux diverses constructions qui forment la ville et à leurs relations spatiales.

8Nous poserons dans un premier temps le contexte thématique et méthodologique de ce travail, avant de proposer une formalisation originale des automates cellulaires et de présenter enfin, dans une troisième partie, les premiers résultats du modèle Remus développé dans le cadre de cette recherche.

Contexte de la modélisation

9Ce travail s’inscrit dans une double perspective, à la fois thématique et méthodologique, des systèmes urbains.

Le contexte thématique

10Immeubles d’habitat collectif, maisons individuelles, infrastructures industrielles ou commerciales, locaux sportifs ou éducatifs, lieux de cultes, etc. : les constructions qui forment la matière physique de la ville sont de natures et de fonctions fort différentes. Cependant elles se caractérisent toutes par leurs traits géométriques (taille, forme) et géographiques (emplacement) propres. Ces caractéristiques peuvent être repérées sur un plan, ou sur une matrice cadastrale traçant l’emplacement des immeubles et leur forme, et étudiées avec une méthode appropriée.

  • 1  Ces données nous ont été gracieusement fournies par le service SIG de la Communauté d’Agglomératio (...)

11Or, ces caractéristiques pèsent sur les relations entre les bâtiments : la taille et la forme des immeubles induisent en effet la géométrie des îlots urbains et contribuent fortement au dessin des rues. Il est donc difficile d’étudier la forme du bâti en faisant abstraction du réseau des voies urbaines. C’est pour cette raison que nous partons d’une représentation de la ville qui prend en compte la morphologie auniveau des immeubles (matrice du bâti) et à celui des voies de circulation (matrice de la voirie)1.

12Les relations géographiques entre entités spatiales sont de deux types : certaines s’expriment dans l’espace directement environnant par des relations euclidiennes (voisinage visuel, diffusion du bruit ou d’un polluant), alors que d’autres s’expriment en suivant le cheminement des rues par des relations réticulaires (déplacements piétons ou trafic par exemple). Il importe donc de concevoir un outil susceptible de faciliter l’étude conjointe de ces deux types d’interactions spatiales.

13Nous proposons ici une modélisation intégrée de ces relations sous forme d’un automate cellulaire non stationnaire et anisotrope, qui permet d’exprimer à la fois les liens aréals et les liens réticulaires qui unissent les immeubles. La non stationnarité renvoie au fait que le voisinage de chaque cellule est potentiellement spécifique, puisqu’il repose à la fois sur une proximité et une connectivité qui varient selon le type de tissu urbain considéré. L’anisotropie, quant à elle,  exprime l’idée que la portée du voisinage d’une unité spatiale n’est pas forcément régulière, ni dans sa taille ni dans sa forme, puisqu’elle dépend de l’accessibilité de cette unité aux autres unités environnantes. Dans un tel contexte, la dynamique de l’automate va s ‘exprimer différemment selon les quartiers. Les notions d’anisotropie et de non-stationnarité précisent donc davantage la particularité de la représentation de l’automate cellulaire que celle du graphe.

Contexte méthodologique

14Les premiers modèles urbains plaçaient déjà l’accessibilité intra urbaine au centre de l’explication de l’agencement des différentes formes d’utilisation du sol (Alonso, 1964 ; Hansen, 1959). Mais les premières applications de la notion d’automate cellulaire à l’étude de la dynamique urbaine (Tobler, 1979 ; Codd, 1968 ; Albin, 1975 ; Nakajima, 1977) se basent sur l’influence de l’occupation du sol de chaque unité spatiale sur un voisinage immédiat. White et Engelen (1997) introduisent dans leur modèle la présence du réseau de transport, et l’intégration de la contrainte spatiale dans des modèles subséquents (Engelen et al., 2002 ; Barredo et al., 2003) permet de replacer l’accessibilité au cœur de l’automate cellulaire.

15Toutefois, même si des modèles plus récents tiennent compte de l’influence des éléments d’infrastructure de transport dans l’évolution urbaine à travers les fonctions de transition (Xie, 1996 ; Batty et Xie, 1997 ; Phipps et Langlois, 1997), l’hétérogénéité de l’espace est rarement prise en compte, du fait de la difficulté à définir des structures géométriques irrégulières dans ce genre de formalisation. Pourtant, O’Sullivan (2001a) a démontré qu’un examen du formalisme des automates cellulaires s’avère nécessaire, en raison de la sensibilité remarquable de certains processus spatiaux à des petites modifications des structures spatiales.

La simulation urbaine par automates cellulaires à base de graphes mathématiques

16Les relations spatiales au sein d’un automate cellulaire peuvent avantageusement être prises en compte par une approche à base de graphes mathématiques. Au-delà de la formalisation autorisée, ce cadre théorique offre un ensemble de méthodes et d’outils permettant d’explorer les relations forme-fonctionnement urbain.

La formalisation de l’espace dans les automates cellulaires

17D’un point de vue formel (Takeyama et Couclelis, 1997), un automate cellulaire géographique est défini par le quadruplet (U, V, E, F) avec :

  • 2  On notera que cet ensemble fini d’unités spatiale peut être positionné sur un espace sans limite ( (...)

18U = {U1, U2,…Ui,… Un}, un ensemble fini2 d’unités spatiales, réparties le plus souvent selon un arrangement régulier (grille) ;

19V = {V1, V2,…Vi,… Vn}, l’ensemble des voisinages de ces unités spatiales, définis selon un critère topologique (contigüité et/ou connexité) ou métrique (distances entre centroïdes). Chaque voisinage Vi est une liste d’unités spatiales Vi = {Uj, Uk,…, Um} considérées comme voisines de l’unité i, selon le critère retenu ;

20E, l’ensemble des états possibles des cellules, sous forme de variables qualitatives ou quantitatives, discrètes ou continues ;

21F, l’ensemble des fonctions de transition locales ƒ, déterministes ou probabilistes, permettant de faire évoluer à chaque pas de temps t l’état des cellules en fonction de l’état de la cellule concernée et des états des cellules voisines, telles que Eit+1 = ƒ(Eit;EVit)

{U,V}{E,F}

22Les unités spatiales et leurs voisines constituent ainsi le squelette à partir duquel les dynamiques vont pouvoir s’exprimer au sein de l’automate. Le premier binôme est d’un intérêt tout particulier en géographie, puisqu’il concerne la manière de formaliser les structures spatiales sous-jacentes. En dépit de cette spécificité fondamentale, les automates géographiques ont toutefois le plus souvent été développés en référence à un cadre formel extérieur, selon lequel « les automates cellulaires sont des automates répartis sur les nœuds d'un réseau périodique, c'est-à-dire une structure géométrique discrète, conservée par certaines opérations de translation et de rotation » (Weisbuch, 1989). La plupart des références (Langlois et Phipps, 1997 ; Phipps et Langlois, 1997) s’inscrivent dans une telle perspective, dont nous allons montrer les limites.

23Le Tableau 1 montre des représentations standard de la composante structurelle {U,V} d’un automate cellulaire géographique. L’espace est discrétisé en cellules carrées, de taille uniforme, agencées de manière régulière sur le domaine. Le voisinage de chaque cellule est alors décliné, pour sa version topologique, selon deux définitions de la contiguïté :

24le voisinage de Von Neumann, dans lequel deux cellules sont voisines si elles partagent au moins une frontière commune ;

Tableau 1. Représentation d’un automate cellulaire et graphes associés.

25Cette représentation, pour intuitive qu’elle soit, reste toutefois d’une portée limitée. Une interprétation un peu différente du binôme structurel {U,V} permet de dépasser avantageusement cette limite. En effet, ainsi que le montre le Tableau 1, il est possible de voir les unités spatiales Ui comme les nœuds d’un graphe mathématique, tandis que les relations de voisinage entre nœuds peuvent être décrites comme les arcs R de ce même graphe, noté G(U, R).

26Une telle représentation est à l’origine du graphe de relations, constitué par la totalité des relations de voisinage (Tableau 1). Dans cette perspective, le binôme {U,V} peut être interprété comme un graphe G(U,R), modifiant du même coup la définition d’un automate cellulaire géographique de l’équation [1]:

27AC = (  G(U,R)   ,   {  E , F  }  )

28On remarquera par ailleurs que le graphe de relations obtenu n’est pas forcément planaire, deux arcs ne se croisant pas nécessairement en un nœud. Une telle interprétation est relativement triviale. Toutefois, ses implications ne sont pas toujours identifiées par les géographes, ainsi que l’a souligné fort justement O’Sullivan (2000, 2001a, 2001b). Ainsi, la représentation par graphe permet immédiatement de pointer l’hypothèse fondamentale de stationnarité sur laquelle reposent la plupart des automates cellulaires géographiques :

29- les unités spatiales sont réparties uniformément sur le domaine ;

  • 3  Si l’on fait abstraction des unités situées aux limites d’un domaine fini.

30- les relations de voisinage sont strictement identiques pour toutes les unités spatiales3,

31- les fonctions de transition sont elles mêmes le plus souvent stationnaires, s’appliquant de manière équivalente en tout point de la structure.

32Bien entendu, les géographes ont très tôt souligné (Takeyama et Couclelis, 1997) que ces contraintes, peu raisonnables pour décrire les structures d’un espace géographique, méritaient d’être en partie au moins relâchées.

Vers une meilleure prise en compte des relations spatiales

33En nous inspirant des travaux de Chua et Yang (1988), Schonfish (1997) et O’Sullivan (2000, 2001a, 2001b), nous avons cherché à dépasser cette stationnarité, en nous focalisant dans un premier temps sur sa composante structurelle, par trop irréaliste dans un environnement urbain. Nous sommes ainsi partis du principe qu’il faisait sens de prendre les éléments bâtis comme unités urbaines élémentaires, et de remplacer la stricte contiguïté par une distance de voisinage. En première approximation, on peut ainsi considérer que deux unités spatiales sont voisines si la distance euclidienne entre leurs deux centroïdes est inférieure à une distance dseuildonnée : .

34Ce faisant, l’agencement des unités spatiales devient irrégulier, les discontinuités spatiales du bâti s’imposant comme éléments structurels majeurs. Le graphe de relations sous-jacent est alors fortement contraint par cette non stationnarité, au point que des modifications minimes de la distance de voisinage d peuvent avoir des répercussions globales de grande ampleur, par la connexion soudaine de graphes partiels non connexes pour des valeurs de d inférieures (Figure 1).

Ui

Figure 1. L’introduction de structures spatiales hétérogènes et son influence sur le graphe de relations de voisinage, pour des seuils de distance euclidienne variables.

Figure 1. L’introduction de structures spatiales hétérogènes et son influence sur le graphe de relations de voisinage, pour des seuils de distance euclidienne variables.

Figure 2. (a) Graphe urbain G(S,A), (b) graphe plein G’(U,K) et (c) graphe de relations de voisinage par le réseau Gt"(U,R)

35Dans cette perspective, la construction du graphe de relations implique au préalable :

  • 4  Le graphe urbain G’(S,A) est un graphe que l’on pourrait qualifier d’ « euclidien » ou de « physiq (...)

36- la construction d’un graphe urbain G(S,A), dont les sommets incluent les noeuds du réseau routier et les bâtiments, et dont les arcs sont constitués de tronçons de route et de connecteurs bâti/route (Figure 2a)4.

  • 5  Le graphe G’(U,K) peut être qualifié de « graphe fonctionnel », puisqu’il exprime les liens foncti (...)

37- l’exécution au sein du graphe urbain d’algorithmes de parcours de graphe afin de calculer le temps de trajet, par le plus court chemin et pour un mode de transport donné, entre tous les couples de sommets {Si ; Sj} du graphe G(S,A). Ce procédé aboutit à la création d’un graphe fonctionnel, plein et non planaire G’(U U S , K), constitué des sommets représentant les bâtiments et des arcs représentant les temps minimaux de parcours par le réseau entre toutes les paires possibles de bâtiments, pour un mode de transport donné (Figure 2b)5.

38- la construction du graphe de relations Gt"(U , Rt Rt K), sous-graphe du graphe fonctionnel, dont les sommets représentent les bâtiments et les arcs les relations de voisinage pour un temps de trajet donné tseuil, tel que, t(Ui; Uj) < tseuil (Figure 2c).

Figure 3. Etapes dans la construction des graphes de relations.

Le modèle REMUS

  • 6  Laboratoire d’Informatique de l’Université de Pau et des Pays de l’Adour.

39L’application REMUS (Reticular Model for Urban Simulation), créée en collaboration avec des chercheurs en informatique du LIUPPA6, permet de générer ces différents graphes (graphe urbain et graphe des relations) et de poser les bases d’un automate cellulaire anisotrope et non stationnaire susceptible à terme de mieux prendre en compte les relations spatiales dans la simulation des dynamiques urbaines.

Génération du graphe urbain

40La génération du graphe urbain implique l’importation de données géométriques à partir d’un Système d’Information Géographique. Ces données, disponibles généralement à partir des bases de données cadastrales et des réseaux de transports, ne comportent pas nécessairement la topologie nécessaire à la génération d’un graphe.

41De ce fait, il est nécessaire de modifier préalablement la géométrie du réseau routier pour respecter la topologie de graphe. Pour cela, REMUS crée des carrefours à l’intersection des tronçons de route, regroupe les différentes lignes composant un tronçon de route entre deux carrefours, et génère le graphe routier avec les carrefours comme sommets et les tronçons comme arcs.

42Ensuite, REMUS incorpore les données du bâti dans le graphe, en générant les accès du bâti au réseau routier. Pour cela, l’application détermine les tronçons de route les plus proches du centroïde de chaque bâtiment (la distance seuil de recherche autour de chaque bâtiment peut être calibrée), écarte les tronçons non accessibles du fait de la présence d’obstacles (d’autres bâtiments par ex.), sélectionne parmi les tronçons restants le tronçon dont la distance au centre géométrique du bâti est minimale, et génère les accès des bâtiments aux tronçons de route.

43Ces deux opérations permettent de générer le graphe urbain, qui représente l’ensemble des bâtiments et leurs interconnexions via le réseau routier.

Génération du graphe de relations

44Dans une deuxième étape, le graphe urbain permet de créer le graphe de relations pour des distances-seuils variables. Cette étape implique de valuer au préalable le graphe urbain avec des temps de parcours dérivés de la longueur géométrique et de la vitesse moyenne de chaque tronçon. La vitesse moyenne peut être estimée de manière indirecte à partir d’un champ de la base de données des routes, tel que le type de route ou la largeur de la chaussée ou encore les limitations de vitesse autorisée.

G(B,E)G(C,T)

Figure 4. Schéma de la structure du graphe urbain : (a) sous-graphe des connecteurs qui relient les bâtiments aux routes G(B,E) ; (b) sous-graphe du réseau routier G(C,T) ; (c) graphe urbain G(S,A) composé des éléments des sous-graphes.

45Cette stratégie originale d’exploration à deux niveaux permet de traiter de grandes bases de données, comme les bases de données cadastrales, en réduisant le nombre de sommets parcourus et en diminuant le nombre d’itérations de l’algorithme de manière vertigineuse (Tableau 2).

G’(U,K)UK

Tableau 2. Comparaison de la complexité des différents graphes utilisés pour l’agglomération de Pau (département des Pyrénées Atlantiques, France).

Visualisation des graphes de relations générés

46Afin de pouvoir étudier la structure du graphe de relations ainsi défini, REMUS permet d’explorer visuellement le voisinage de chaque bâtiment par le réseau en regroupant de manière hiérarchique les bâtiments selon leur accessibilité pour des distances/temps variables (Figure 5).

Figure 5. Exploration visuelle des voisinages à 100, 200 et 300 m des bâtiments de l’agglomération de Pau à l’aide de la plateforme REMUS.

47Une hiérarchisation des distances-temps de parcours permet d’effectuer la sélection des voisins de chaque bâtiment pour une distance seuil donnée. Finalement, le graphe de relations de voisinage G"(U,R) est généré pour la distance seuil choisie (Figure 6). On obtient ainsi une visualisation locale des proximités entre bâtiments par le réseau routier et non à vol d’oiseau.

Figure 6. Exemple de génération d’un graphe de relations de voisinage à 25m avec l’application REMUS.

48On peut également calculer les ensembles de lieux se trouvant plus proches les uns des autres, ce qui revient à définir des communautés de voisinage entre immeubles. Ces communautés de voisinage nous permettront à terme d’identifier d’éventuels « petits mondes » (small worlds : Albert et Barabasi, 2002 ; Newman, 2003) au sein de la ville et par ce biais d’identifier des sous-ensembles urbains reliés de manière préférentielle. Elles peuvent aussi servir à définir des zones de proximité en ville, utilisables par les pouvoirs publics à de multiples fins : calculer des zones vulnérables à certains risques, optimiser des problèmes d’accessibilité à des équipements, réaliser des aménagements nécessitant une bonne proximité par le réseau, ....

Conclusions

49L’étude des relations spatiales entre immeubles d’une même ville peut donc se faire à partir de l’étude des matrices cadastrales les répertoriant et de la caractérisation des relations spatiales entre ces immeubles. Cette caractérisation peut prendre un aspect innovant sous la forme d’un automate cellulaire non stationnaire, à même de représenter à la fois les liens de proximité entre immeubles dans l’espace euclidien de la ville, mais aussi dans l’espace du réseau de circulation. Cette nouvelle formalisation offre plusieurs avantages, à la fois méthodologiques, scientifiques et thématiques, que nous proposons d’explorer à l’avenir.

50D’un point de vue méthodologique, le fait de s’en tenir à une formalisation correspondant rigoureusement à la théorie des graphes nous permet de nous servir des nombreux outils mathématiques et informatiques développés pour analyser des graphes de grande dimension. Par ailleurs la définition d’un automate cellulaire à base de graphe mathématique permet de représenter des dynamiques fondées sur deux types de proximités : une proximité aréale, basée sur une distance euclidienne, et une proximité fonctionnelle par le réseau.

51D’un point de vue scientifique par ailleurs, cette approche permet de bénéficier des développements nombreux de la recherche sur les graphes, en mathématiques, en physique, en biologie et dans les sciences sociales. La mise en évidence de divers modèles de réseaux existants (Erdös-Rényi 1959, Watts-Strogatz 1998, Albert-Barabasi 1999) et l’étude de leurs propriétés pourra ainsi directement être appliquée à l’étude des graphes urbains.

52Enfin, d’un point de vue thématique, cette représentation originale de la ville en tant qu’espace euclidien et qu’espace en réseau ouvre la voie à de vastes champs d’applications dans le domaine de la géographie urbaine et des études d’urbanisme. On pourra ainsi mieux étudier les stratégies de déplacements en interaction avec le trafic routier et en liaison avec les contraintes morphologiques des villes. Il deviendra également possible de développer la représentation des modifications urbaines, des plus petites (mise d’un sens interdit d’une rue) au plus générales (création d’un nouveau quartier) et de mieux mesurer leurs impacts sur l’ensemble de la ville. Enfin, on pourra aussi définir des communautés locales, ou des communautés de voisinages, reposant sur des principes euclidiens et/ou réseautiques, pour y implanter des équipements ou y réaliser des aménagements nécessitant une bonne proximité.

53Au final, nous gageons que l’approche de la ville à partir d’un automate cellulaire aux caractéristiques structurelles et à terme fonctionnelles plus réalistes, permet d’améliorer la compréhension du fonctionnement et des effets de ses formes spatiales. Dans la mesure où la morphologie urbaine est générée à partir de l’action d’agents individuels dans la société et des politiques d’aménagement du territoire, notre approche participe à l’éclairage des phénomènes émergents –processus, interactions et formes– à l’interface des sociétés humaines et de l’espace, à l’aide de la théorie des systèmes complexes et des outils de modélisation associés.

Glossaire

54Graphes « euclidiens » ou  « physiques » : distances euclidiennes

55G(S,A) : graphe urbain (tous les sommets, tous les arcs).

56G(B,E) : sous graphe connecteurs bâtiments/routes (bâtiments, entrées de propiétés).

57G(C,T) : sous-graphe routier (carrefours, voies).

58Graphes « fonctionnels » : distances temps

59G’(U,K) : graphe fonctionnel (bâtiments, liens en distances-temps).

60Gt"(U,R) : graphe fonctionnel de relations (bâtiments, liens de voisinage selon un seuil de temps et un mode de transport donné).

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Bibliographie

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Notes

1  Ces données nous ont été gracieusement fournies par le service SIG de la Communauté d’Agglomération Pau-Pyrénées pour cette étude.

2  On notera que cet ensemble fini d’unités spatiale peut être positionné sur un espace sans limite (un tore), les unités Ouest étant reliées aux unités Est et les unités Nord aux unités Sud.

3  Si l’on fait abstraction des unités situées aux limites d’un domaine fini.

4  Le graphe urbain G’(S,A) est un graphe que l’on pourrait qualifier d’ « euclidien » ou de « physique » dans la mesure ou il correspond à un  graphe « géographique » exprimable sur un plan ou sur une carte et basé sur des distances spatiales euclidiennes. Mathématiquement ce graphe est complet ; toutefois G’(S,A) n’est pas planaire car un croisement en dénivelé (trémie, tunnel, pont) peut localement entraîner un croisement d’arcs.

5  Le graphe G’(U,K) peut être qualifié de « graphe fonctionnel », puisqu’il exprime les liens fonctionnels existants entre immeubles du point de vue des distances temps. Comme il existe toujours une distance temps réciproque pour toute paire de sommets, cette représentation correspond mathématiquement à un graphe plein car deux sommets quelconques sont toujours adjacents (Kaufmann, 1968).

6  Laboratoire d’Informatique de l’Université de Pau et des Pays de l’Adour.

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Titre Figure 1. L’introduction de structures spatiales hétérogènes et son influence sur le graphe de relations de voisinage, pour des seuils de distance euclidienne variables.
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Pour citer cet article

Référence électronique

Dominique Badariotti, Arnaud Banos et Diego Moreno, « Conception d’un automate cellulaire non stationnaire à base de graphe pour modéliser la structure spatiale urbaine: le modèle Remus », Cybergeo : European Journal of Geography [En ligne], Dossiers, Sélection des meilleurs articles de SAGEO 2006, document 403, mis en ligne le 03 octobre 2007, consulté le 02 juillet 2016. URL : http://cybergeo.revues.org/10993 ; DOI : 10.4000/cybergeo.10993

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Auteurs

Dominique Badariotti

Laboratoire Image et Ville – UMR 7011 CNRS, Université Louis Pasteur, 3 rue de l’Argonne, F-67000 Strasbourgdominique.badariotti@lorraine.u-strasbg.fr

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Arnaud Banos

Laboratoire Image et Ville – UMR 7011 CNRS, Université Louis Pasteur, 3 rue de l’Argonne, F-67000 Strasbourgarnaud.banos@lorraine.u-strasbg.fr

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Diego Moreno

Laboratoire SET – UMR 5603 CNRS, Université de Pau et des Pays de l’Adour, IRSAM, avenue du Doyen Poplawski, 64000 Paudiego.moreno@etud.univ-pau.fr

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Droits d’auteur

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