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2004
277

Fractalité de certains réseaux d'irrigation de l’Arc Alpin

Fractality of some irrigation canals in the Alps mountains

Ivan Brissaud

Résumés

Dans de nombreuses régions alpines la sécheresse du climat a nécessité une irrigation des terrains cultivables par un réseau de canaux. Ceux-ci ont été construits au cours de diverses périodes de quelques dizaines d'années, depuis le treizième siècle environ. Nous nous sommes intéressés à la répartition spatiale de ces réseaux en différents pays et à différentes altitudes. Par analogie avec les rivières ou voies de communication, nous voulons vérifier si les canaux ont également une distribution fractale. L'intérêt d'une telle  fractalité est de confirmer l'universalité de celle-ci, d'évaluer la régularité de la distribution des canaux et d'apprécier la concordance entre les distributions de ceux-ci et celles des surfaces irriguées. La nature du terrain (pente herbeuse, falaise rocheuse….) peut-elle être un facteur de différentiation en réduisant les possibilités de terrassement ? La méthode d'analyse radiale adoptée en particulier par les urbanistes a été choisie pour sa simplicité de mise en oeuvre. Par ailleurs le classement par longueurs des canaux a également été établi ; il suggère une distribution multi fractale.

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Notes de l’auteur

Je dois exprimer ma vive gratitude à A.Bretagnolle (Université Paris I), P.Frankhauser (Université de Franche-Comté),  Ph.Ellerkamp (Université d'Avignon), J.P.Marchand (Université de Rennes)  et S.Frontier (Université Lille I) pour leurs conseils et la communication de documents. Je voudrais remercier particulièrement W.Cretton du Service d’aménagement du Territoire à Sion, C.Dumont de la Société Géologique et Minière du Briançonnais ainsi que G.Rivolin responsable des Archives Historiques de la Région Autonome d'Aoste qui m’ont aimablement fourni différentes cartes des bisses Valaisans, des canaux Briançonnais et des rus Valdotains accompagnées de nombreux commentaires. Par l'intermédiaire de C.Marchetti, P.Meyer de la Rockfeller University m’a courtoisement envoyé une copie du code Loglet ; je leur en suis très reconnaissant. Comme toujours, ma gratitude va à Ch.-P. Péguy (CNRS) pour ses encouragements amicaux.

Texte intégral

  • 1  Les données ont été extraites des ouvrages suivants : Canali in Provincio di Cuneo, Biblioteca del (...)

1Les systèmes d'irrigation sont un ensemble de canaux destinés à amener l'eau d'un ruisseau, d'un torrent, d'une rivière situés en aval sur des portions de terres agricoles afin de développer des cultures ou des prairies. Ces canaux dont la longueur  peut atteindre quelques dizaines de kilomètres conduisent l'eau par un réseau de dérivations et un maillage plus ou moins lâche de rigoles secondaires vers les surfaces agricoles. Ces "réseaux techniques", selon la définition des géographes, ont été creusés depuis la fin du XIIIe jusqu’au début du XXe siècle dans des régions alpines particulièrement sèches et afin de répondre à des développements et/ ou à des changement d’agriculture nécessités principalement par la démographie. Nous avons pensé qu'il serait intéressant de voir si ces travaux d’irrigation qui sont difficiles, dangereux, effectués sur des flans de montagnes sans l’aide des techniques et outils modernes, avaient été réalisés dans les vallées selon un ordre logique, certes non prémédité, mais réel. Pour ce faire, nous avons pris en considération quatre régions pour les quelles nous avons pu obtenir des informations détaillées1 : le Briançonnais, le Valais suisse, le Val d'Aoste et le Sud Tyrol italiens ; cette analyse a été complétée par une comparaison avec des canaux situés à de plus faibles altitudes, dans les régions de Cuneo et de Turin.

2Selon les critères habituels (1) un système d'irrigation est complexe (et non compliqué) : il est constitué d'un nombre important d'éléments (conduits, rigoles, ponts….personnels d'entretien et de contrôle, règlements…) qui interagissent entre eux dans un but bien précis. Le système constitue une entité nouvelle qui émerge de tous les éléments cités plus haut dans le cadre d'une "organisation". La description du fonctionnement technique et administratif d'un tel système met en évidence une "hiérarchie" dans sa construction et son exploitation.

3Pour survivre au cours d'environ sept siècles, de tels systèmes ont du s'adapter, se développer, se perfectionner. Seule cette évolution, fruit de l'organisation,   permit de perdurer en traversant des perturbations et "stress" qui conduisent à une suite de régénération, par exemple au moment des grandes épidémies, des bouleversements sociaux ou lors des changements des modes d'agriculture. Nous verrons par la suite apparaître certaines caractéristiques confirmant cette complexité.

Croissance logistique

  • 2  Cette décomposition, mathématiquement excellente, a été réalisée grâce au logiciel "Loglet" élabor (...)

4Pour les sites concernés, de nombreuses datations des constructions de ces canaux sont disponibles ; mais nous nous sommes spécialement intéressé au Valais, car cette contrée est exemplaire : elle possède le réseau le plus vaste, le mieux exploré et celui dont la chronologie a été le mieux établie. Pour cette région, la figure 1a donne à titre d'exemple la longueur cumulée de ces " bisses " (nom local des canaux) pour les XIVe et XVe siècles, époque de fort bouleversement. On constate que cette évolution procède en des épisodes de quelques dizaines d’années séparés par des moments de quasi-inactivité. La figure 1b donne le résultat de la décomposition2 de cette courbe en trois  courbes élémentaires correspondant à des fonctions « logistiques ». Ces fonctions sont de la forme L=Lo/[1+exp-(t-to)/∆t] où Lo est la longueur totale maximum, to le moment où L prend la valeur de Lo/2 et ∆t le temps de croissance pour que L passe de 10% à 90% de Lo. Les valeurs de ces trois paramètres sont affichées, pour chaque courbe, dans les figures 1 et 2 sous les noms de saturation, midpoint, et growth time. Ces fonctions logistiques sont la preuve qu'à chacun de ces épisodes la croissance de ce réseau de canaux, après un démarrage exponentiel,  a subi des séries de limitations liées à des contraintes. Celles-ci étaient sans doute de diverses natures (main d’œuvre, techniques, financement, besoins….). De cette analyse, on peut en déduire avec précision quand et à quelle vitesse s’est déroulée une politique renforcée d’irrigation du XIIIe au XXe siècle.

5De nombreux auteurs ont montré qu’une courbe logistique rend généralement bien compte de la diffusion d’innovations. Dans le cas présent, l’innovation est la technique d’irrigation par canaux ; la diffusion de cette technique est assurée particulièrement par les contacts humains (surtout au Moyen Age) : or, dans le Briançonnais, la vallée de la  Guisane fut toujours une voie de passage très fréquentée entre Grenoble, le midi de la France ou l’Italie, situation favorable à de tels contacts. C’est certainement une des raisons pour laquelle cette vallée fut la plus équipée de cette région.

Fig.1a. Longueurs cumulées des canaux du Valais aux XIVe et XVe Siècles

Fig.1a. Longueurs cumulées des canaux du Valais aux XIVe et XVe Siècles

Fig.1b. Décomposition de la courbe 1.a en trois fonctions logistiques

6Des "poussées  logistiques " comme celles que nous avons mises en évidence sur ces deux siècles du Moyen Age valaisan se retrouvent également à divers moments jusqu’au XXe siècle et cela pour l'ensemble des six régions

Fig.2. Décomposition de la courbe donnant le nombre cumulé de canaux du Sud Tyrol entre les années 1500 et 1900

7étudiées (2). Ces poussées étant quasi concomitantes, elles laissent penser que les mêmes contraintes agissaient approximativement  aux mêmes instants en des endroits éloignés. Par exemple, la forte expansion du nombre de canaux autour de l’an 1450 correspond au passage de l’élevage des ovins à celui des bovins, comme cela a été  expliqué par P. Dubuis pour le Valais (3) et par E.Gerbore pour le Val d'Aoste (4), constatation vérifiée sur tous les sites sauf le Briançonnais (2) pour lequel cette transition fut beaucoup plus tardive.

  • 3  Communication privée de G.Bodini

8Autre exemple : la figure 2 présente la décomposition de la courbe donnant le nombre cumulé de canaux construits entre les années 1500 et 1900 au Sud Tyrol. L'explication, extrêmement schématique3 de cette succession de vagues de construction est la suivante : la première poussée correspond au passage ovins-bovins avec un développement économique lié à l'exploitation des mines métalliques. A suivi une longue période de misère (à relier en partie à la concurrence des mines américaines) ponctuée d'épidémies de peste et débouchant sur une forte dépopulation. Puis, l'approvisionnement en céréales a été assuré par l'importation de celles-ci devenues moins coûteuses pour des raisons historiques ; d'où une retour à l'élevage des bovins. Enfin, après les guerres révolutionnaires du tournant du XIX e siècle, c'est la reprise économique avec une forte croissance démographique relançant l'agriculture.

Distribution spatiale des canaux

  • 4  Dans une géométrie fractale la quantité L® est une fonction de la forme L®=λ*R**D, λ et D étant de (...)

9Tout d’abord rappelons que le principe d'auto similarité est la règle dans la nature ; autrement dit, les objets d'un même ensemble s'obtiennent par transformation homothétique ; c'est le cas bien connu des cotes maritimes de Bretagne ou de Norvège, des fleuves, branches d'arbres, …choux-fleurs,...bronchioles pulmonaires…. On est, alors, en présence d'une "loi puissance" liée à un principe physique dénommé "invariance d'échelle", qui signifie que la notion d'échelle ne joue pas. Si on classe par rang de taille (en coordonnées logarithmiques) les objets d'une telle famille dans un domaine spécifique, la courbe obtenue est une droite traduisant bien le fait qu'à un facteur de dilatation prés les objets sont identiques (ou presque)4. Un très grand nombre de phénomènes naturels présentent cette propriété d'auto similarité géométrique qui est une caractéristique des fractales ; autrement dit un objet a une géométrie  fractale si celle-ci est identique à celle d'une de ses portions. Mais une telle loi puissance  n'est apparente que si l'auto similarité est parfaite, ce qui n'est pas toujours le cas ; d'autant qu'il y a des limites physiques aux objets considérés.

10Si l'on regarde la carte d'un réseau d'irrigation, on constate que celui-ci ressemble fortement à un réseau de rivières ou de voies ferrées, si ce n’est qu’il n’y a pas ou peu d'arborescence ou de nœud, mais, parfois, des croisements. Donc, il est logique d'étudier les canaux au moyen des outils qui ont donné des résultats intéressants pour les lignes de métro et autres chemins de fer. La méthode choisie est celle de l'analyse radiale telle qu'elle a été décrite et utilisée, en particulier par P.Frankhauser (5) : on adopte un point central vers le quel convergent les canaux ; dans des cercles centrées en ce point on évalue la longueur cumulée des éléments de tous les canaux inscrits dans ceux-ci, soit N ; la courbe donnant N en fonction du rayon R du cercle correspondant permet de connaître la nature de la distribution des densités de ces canaux.

Fig. 3.  Canaux du Briançonnais.

B est le centre de la ville de Briançon, D,G et C sont les vallées de la  Durance, de la Guisane et de la Ceyrverette. P est le centre des cercles d'analyse.

11Pour le Briançonnaise, le centre des cercles (voir la carte de la figure 3) est situé prés de la ville de Briançon, au confluent de plusieurs vallées, dans une zone assez plate et  fortement cultivée. La figure 4 présente pour cette région la courbe (en coordonnées logarithmiques) N = f (R). On remarque qu'elle se décompose en deux éléments de droites dont les pentes sont p1=1,60 et p2=O, 34. On déduit, au vu de ces droites, que ce réseau de canaux se divise en deux zones distincte à géométrie fractale et dont les dimensions fractales radiales sont égales aux pentes (ce ne sont pas des nombres entiers). On peut démontrer facilement que la densité du réseau d'irrigation est une fonction hyperbolique, plus dense auprès du point central, puis moindre au-delà d'un rayon de 3,5 kilomètres. Au-delà d'un rayon de 7,2 km  le réseau atteint une distribution très hétérogène. La valeur maximum de cette densité est de 2,3 kilomètres de canaux par kilomètres carrés.

Fig.4. Densités N des canaux en fonction de la distance R au point central

12Nous avons étendu cette analyse au Valais en choisissant la région de Sion pour laquelle la densité de canaux est très grande. La figure 5 donne la carte des « bisses » entourant la ville de Sion. Le hameau de Bramois voisin de cette ville, point vers lequel convergent beaucoup de canaux, a été choisi comme centre d'analyse.

Fig.5. Carte des bisses de la région de Sion.

P est le centre des cercles d'analyse (Bramois)

13La figure 6 donne les mesures de densités de ceux-ci en fonction du rayon des cercles. On distingue trois zones concentriques limitées par des rayons de 1,5 et 4 kilomètres. Les pentes des droites supportant ces résultats, donc les dimensions fractales, sont de 1,5. 0,9 et 1,97. Pour la dernière zone, la pente signifie que la distribution des canaux est presque homogène, l'espace étant rempli et la dimension très voisine de 2.

Fig.6. Densités des canaux autour de Sion

14De cette figure, on  calcule que la densité maximum de bisses est environ 2,9 kilomètres par kilomètres carrés. Ceci confirme quantitativement l'impression obtenue en regardant la carte des canaux. La densité est nettement supérieure à celle du Briançonnais. Une explication est que le climat est plus sec dans le Valais et que l'élevage des bovins, très exigeant en eau, y est devenu important, surtout après le XVe siècle, ce qui a accéléré le besoin d'irrigation (3).

Fig.7.Distribution radiale des canaux dans la région de Cuneo en fonction du rayon des cercles d’analyse

15Les canaux sont aussi très abondants dans la région de Cuneo, sur les contreforts alpins de la vallée italienne du Pô. La figure 7 donne les densités de canaux autour d’un point situé prés de la ville de Cuneo (voir la figure 8). On constate que la courbe se réduit à un unique élément de droite de pente p=1,52 pour la zone étudiée, valeur de la dimension radiale fractale de ce réseau : celle-ci est donc constante dans un large cercle de 20 kilomètres de rayon environ autour du point d'analyse. Il faut noter que cette région de moyenne altitude montre un relief moins tourmenté que les autres, ce qui explique que la zone fractale a une envergure très supérieure. Quand à la densité maximum, elle est de 0,90 kilomètres / kilomètre carré, nettement plus faible que dans les autres cas étudiés précédemment.

Fig.8 Carte donnant les canaux de la région de Cuneo.

C et P sont respectivement la ville de Cuneoet le centre des cercles d'analyse.

16Nous avons étendu la même analyse à la région du Val d'Aoste avec des conclusions assez comparables. Par exemple, pour les "rus" (nom local des canaux) de la seigneurie de Quart la courbe log-log du classement de ceux-ci est toujours une droite et la dimension fractale déduite ainsi n'est que 0,78 montrant une distribution inhomogène des rus s'étendant dans une seule vallée. C'est une valeur proche de D2 obtenue à Sion pour la bande intermédiaire. Il est intéressant d'étudier la densité des canaux qui ont joué un rôle important dans la vieille ville d'Aoste. Là, les canaux sont plus larges et forment sous le nom de "rives" un réseau qui a servi, certes, à activer des artifices, c'est à dire des moulins, forges, tanneries….mais, également, à alimenter des réseaux secondaires amenant l'eau vers des jardins, terrains agricoles….La figure 9 montre la distribution géométrique de ces rives, rappelant les bisses alimentant les potagers de Sion. La figure 10 donne le classement rang-taille des densités des rives : la courbe correspondante est une droite montrant une valeur de la dimension fractale D=1,57 pour une surface circulaire de 2 kilomètres de diamètre.

Fig.9 Plan des Rives de la ville d'Aoste.

A, B,C, D sont respectivement la Rive de Ville, du Bourg, du Pont de Pierre et la Mère des Rives. E, F, G sont la gare, le stade et Rivolin. P le centre de l'analyse

Fig.10. Distribution des densités de canaux autour d'Aoste

17Le tableau I regroupe les dimensions fractales évaluées pour les villes de Cuneo, Aoste, Briançon et Sion. On constate que les valeurs de D1 sont proches pour les sites les plus voisins de ces capitales régionales.

Tableau I. Valeurs des dimensions fractales pour Briançon, Sion, Aoste et Cuneo

18D'autres techniques existent pour mesurer les dimensions fractales. En particulier on peut utiliser la méthode du quadrillage qui consiste à superposer un réseau à mailles carrées sur la structure étudiée. Si N est le nombre de carrés traversés par les canaux en fonction de la longueur du coté de ces carrés R, on a la relation log (N)=-Dq*log®. En faisant varier la quantité R on détermine la dimension Dq à partir de cette équation.En théorie les dimensionsDr et Dq devraient être égales, mais ceci n'est pas vérifié, loin de là (plus loin nous expliquerons cela par un effet de multi fractalité !). Par exemple, pour la ville de Sion, les dimensions Dq sont de 1,4 et 1,1 pour les deux zones centrales alors que les dimensions radiales correspondantes sont 1,5 et 0,9. De même pour la ville d'Aoste Dq est 1,2 nettement plus faible que Dr. Ces deux techniques suivent deux démarches différentes puisque la première mène une analyse à partir d'un point central, montrant la répartition autour de celui-ci et permettant de bien séparer des sous espaces différents, alors que l'autre méthode est globale pouvant être compliquée par une superposition sous-jacente de structures fractales distinctes (multifractalité). En reprenant l'argumentation de  P.Frankhauser dans l'étude des voies de communication, il faut noter que la méthode radiale est bien adaptée à notre problème car celui-ci concerne un réseau linéaire, peu large (1 mètre !), mais  s'étendant sur de vastes espaces (dizaines de kilomètres carrés ou plus).

19Egalement, nous pensons en regardant les cartes géographiques qu'en dehors du cas particulier d'Aoste, les canaux ont une structure relativement plus radiale que quadrillée : ils convergent soit vers les  villes (Briançon, Cuneo, Sion) le long de vallées plus ou moins importantes, soit vers les villages dont la distribution doit également être fractale. D'un autre coté le point délicat de l'analyse radiale est le choix du centre des cercles d'analyse. Ce point a été choisi en se guidant sur une carte. Mais il est certain que ce choix introduit une incertitude sur la valeur de D. Ainsi, dans les cas étudiés, les valeurs des dimensions Dr  varient de 0,1 environ si le barycentre est déplacé de 1km environ autour du point précédemment adopté.

20Enfin on peut estimer par des simulations que les incertitudes consécutives à la détermination de Dr  sont de 0,1. Il faut prendre en considération ces imprécisions pour toute comparaison avec des modèles théoriques.

Discussion

21Pour accroître le rendement de secteurs agricoles, l'irrigation est une technique visant à amener de l'eau d'un point d'alimentation en amont (rivières, torrents…) à proximité de divers terrains ; sa problématique se rapproche de celle des moyens de transport : il faut trouver un ou plusieurs parcours pour irriguer le plus grand nombre possible de terrains en évitant la multiplication de canaux dont la construction et l'entretien sont une entreprise très lourde. Sans recherche d'optimisation, un réseau "caricatural" serait un faisceau d'un canal distinct par lopin, réseau qui couvrirait presque toute la surface ! Par contre, comme l'a montré P.Frankhauser pour la voirie, l'optimisation est atteinte grâce à une géométrie fractale (5), car une telle géométrie de dimension  comprise entre 1 et 2 (c'est à dire entre courbe et surface) permet de desservir le maximum de sites dispersés sur les flancs des vallées. Comme exemple de cette efficacité : sur la rive gauche de la vallée de la Guisane (fig.3), seuls deux longs canaux suffisent pour atteindre presque tous les sites exploités  sur ce versant, principalement en fond de vallée.

22Précédemment nous avons pu distinguer, pour chaque région, différentes zones- ou différents niveaux hiérarchiques-. Chacune de ces zones a une géométrie fractale dont la dimension est successivement D1 et D2, D3 selon le site. Cette différentiation correspond à des espaces de plus en plus éloignés des agglomérations, donc à une altitude plus élevée où les cultures sont moins denses. Le fait que l'on détermine trois dimensions fractales pour le Valais montre que pour cette région il y a eu trois niveaux dans l'exploitation agricole de cette région,  s'étageant les uns au dessus des autres. Les densités maximales de canaux sont relativement proches à Sion et Briançon, mais fort différentes de celle de Cuneo qui est une région beaucoup moins accidentée et où la distribution fractale des canaux s'étale sur une zone étendue (rayon de 20 kilomètres environ).  Il faut rappeler qu'il y a aussi une hiérarchie dans les fonctions des sites irrigués : en fond de vallée, à l'intersection de vallées dans des zones assez plates, prés des villes (Briançon, Aoste, Sion) se développent principalement la culture vivrière (fruits,choux, lentilles….) et celle des arbres fruitiers. Plus haut on distingue les prairies naturelles irriguées pour le fourrage et la culture du chanvre textile, de  l'orge et surtout du seigle qui est plus résistant aux conditions climatiques de l'altitude (cas de Briançon). Puis, spécialement dans le Valais ou le Tyrol, sur les contreforts des vallées, la vigne et plus haut le fourrage. Certes cette division n'est pas aussi nette car on retrouve des cultures vivrières en altitude prés des maisons d'alpage où séjournent les familles chaque été.

  • 5  Serge Galam, Pour La Science, 306 (2003) 90 et références incluses

23Pour tenter d'interpréter les résultats précédents nous proposons d'envisager le modèle de percolation (6) dont A.Dauphiné (7) donne la définition suivante :" Un modèle de percolation est une sorte de modèle de diffusion contrainte par un substrat". Il a permis de rendre compte de beaucoup de phénomènes physiques depuis la diffusion  d'un liquide dans un solide poreux en suivant des chemins qui traversent le milieu, mais également il explique la propagation des feux de forêts, des épidémies et le cheminement d'un éclair entre le ciel et la terre ou, en Sciences Sociales,  les migrations humaines (8) entre autres études. Par analogie, nous représentons un canal d'irrigation comme un ensemble de rigoles mises bout à bout et laissant circuler l'eau par gravitation depuis la source jusqu'à un maximum de parcelles où sa présence est désirée. En termes de Physique, c'est un phénomène critique avec le "changement de phase" que représente le passage de l'eau d'un bout à l'autre du canal. Nous avons donc affaire à une percolation dirigée par la gravité. Les possibilités de construire un canal sont dépendantes de la nature du sol, des obstacles naturels..etc...qui peuvent avoir un effet de blocage. La preuve est apporté par le fait qu'il est fréquent de retrouver dans ces montagnes des segments de canaux qui n'ont pu être mis en œuvre à cause de difficultés techniques et qui ont été abandonnés. Seuls certains tracés sont éventuellement possibles. Il y a donc un seuil limitant les possibilités d'irrigation : un seuil de percolation signalant qu'il y a au moins un cheminement possible. En physique on a montré que le seuil dépend de deux paramètres que sont l'importance de la connectivité et la dimension du domaine considéré. Dans notre cas ces paramètres sont la possibilité d'établir des conduites et la distance à parcourir. Cette représentation est voisine  de celle qui explique l'infiltration de terroristes dans un milieu social : si la population est sensible à la cause des terroristes, elle permet plus ou moins selon cette sympathie qu'ils circulent de leurs bases jusqu'à leurs cibles ; la densité des sympathisants et leur répartition dans le pays facilitent ou non la pénétration. Si la population est totalement hostile, elle fait bloquer l'accès aux cibles. Il y a un seuil sur lequel les autorités peuvent jouer. Dans son  étude,  S.Galam5 apporte un certain nombre d'enseignements pour une solution ( ?) du problème en question.

24Dans une percolation, les canaux peuvent être considérés comme une suite de passages, c'est-à-dire dans le langage des spécialistes, comme des ""amas". Il a été montré (6) que l'épine dorsale de chaque amas percolant, c'est-à-dire la longueur du canal sans ses embranchements, a une géométrie fractale dont la dimension théorique calculée est D=1,62. C'est un nombre  proche des dimensions fractales que nous avons obtenues (tableau I). Toujours selon ces calculs, la valeur asymptotique de la dimension d'un amas est 1,9. Or nous avons constaté une valeur voisine pour les environs de la ville de Sion, dans la zone vinicole où la densité des bisses est très grande et homogène (il faut avoir en mémoire les incertitudes qui accompagnent les résultats).

25Maintenant établissons en coordonnées logarithmiques le classement par longueur  (celle-ci est bien connue) de tous les canaux, séparément pour les régions du Valais, du Val d'Aoste, de Cuneo et de Turin. On constate que la courbe obtenue est une parabole. Par exemple, l'ensemble très riche (plus d'une centaine) de tous les canaux répertoriés du Valais (fig.12) se situent sur la parabole dont l'équation est :

Fig.12. Classement rang-longueurs des canaux du Valais.

26Parabole supportant les données

27                                                  y= - 0,2582* x2 +  0,0006*x   + 1,3486                        avec r=0.9839

  • 6  Il faut rapprocher cette conclusion de la notion de " fractale parabolique" initiée par Jean Laher (...)

28y et x  étant respectivement  log (A) et  log(N) où A représente la longueur des canaux et où N est le rang dans ce classement. La quantité r est le coefficient de corrélation qui permet d’évaluer la fiabilité de l’ajustement qui est  satisfaisant ici. Il faut noter que le premier point d'abscisse log (N) =0, c'est à dire  le canal le plus long, se situe au dessus de la courbe. De telles exceptions ont été constatées sur plusieurs exemples et dans diverses disciplines. Il convient de rapprocher l'observation de ces "classements" paraboliques des conclusions précédentes de ce travail sur les densités des canaux : on a été amené à  constater une géométrie fractale pour la répartition spatiale de ceux-ci. Par contre, le classement par longueur, c'est-à-dire une simple analyse topologique, n'a qu'une signification géométrique,  précise certes, mais insuffisante pour décrire la vocation du système. En particulier une plus ou moins grande longueur du canal n'a pour but que d'amener l'eau depuis sa capture en altitude, alors que c'est sur la partie terminale du canal, vers le fond de vallée, que s'effectue principalement la répartition sur les parcelles cultivées. Des caractéristiques  autres que la longueur peuvent être plus significatives : débits, courant, changement de direction, pertes de charge….. Par opposition à la fractalité des densités de canaux, on peut  estimer que les classements par longueurs relèvent en fait d'une géométrie qui est multi fractale car due à la forte hétérogénéité des réseaux d'irrigation, d'où la distribution parabolique6 notée plus haut (qui est l'enveloppe de diverses fractalités). Le classement par longueurs se réduit à la superposition de fractales homogènes. Autrement dit, on a montré que la distribution des canaux est fractale dans l'espace irrigué, mais en classant les segments de canaux disposés dans des cercles de rayon variable et à partir du centre de l'irrigation et en négligeant la longueur totale des canaux, quelque soit cette longueur. Dans la littérature  on trouve beaucoup d'autres exemples voisins de multifractalité ; ainsi celui donné par J-F. Gouyet (6) quand il analyse la distribution des diamants à la surface du globe selon leurs valeurs et selon leurs emplacements. Le lecteur intéressé par les notions de fractales et multifractales en Géographie peut consulter l'ouvrage de A.Dauphiné ( 7).

29L'intérêt des multi fractales a été montré par B.Sapoval dans un cas voisin du notre : les échanges d'oxygène entre alvéoles pulmonaires et vaisseaux sanguins. Les distributions des alvéoles et des extrémités des vaisseaux sont des multi fractales très différentes et cette différence permet de préciser les mécanismes mis en œuvre dans l'oxygénation du sang.

Fig.12 Classement rang taille L des longueurs des canaux de la Guisane

30La figure 12 donne le classement rang taille des longueurs des canaux de la vallée de la Guisane considérée seule (ceux-ci sont les plus nombreux du Briançonnais). On constate que dans ce cadre restreint deux droites- et non une parabole- suffisent à rendre compte de ce classement. Comme nous disposons de données, la figure 13 présente le classement des surfaces des terrains irrigués dans la même vallée. La courbe correspondante S peut être décomposée, elle aussi, en deux droites typiques d'une distribution de Pareto traduisant un phénomène fractal. La comparaison entre les courbes des figures 12 et 13 fait apparaître  une adéquation satisfaisante  entre les surfaces et les canaux les plus grands, ce qui n'était pas évident à priori. Le fait que les petits canaux irriguent proportionnellement moins bien les surfaces que les grands canaux est expliqué par E.Guyon (9). Celui-ci a montré qu' "en percolation la conductivité croît plus lentement que la taille de l'amas au voisinage du seuil critique", ce qui est notre cas.

Fig.13. Classement rang taille des surfaces irriguées S grâce aux canaux de la Vallée de la Guisane, le rang étant la variable R

31Par ailleurs rappelons que Z. Djordevic (10) a montré que dans un modèle de percolation, qui semble valable pour notre étude, la distribution des surfaces des amas (pour nous la longueur des amas) est une multi fractale.

Conclusion

32a) L’analyse radiale des densités de canaux sur quelques exemples a permis de constater que les réseaux d'irrigation possèdent une géométrie fractale qui a permis à des montagnards  d'optimiser la distribution de l'eau sur leurs terres et cela depuis le Moyen Age !  Mais les résultats de ces analyses (dimensions fractales, densités maximum, différentes zones de dimension…) sont variables d’une région à l’autre. Et il serait intéressant d’approfondir les liens entre les hiérarchies qui se manifestent ainsi et le développement  historique et économique des régions considérées (11).

33b) Le classement rang-taille de la longueur des canaux donne une courbe parabolique, signature d'une distribution multi fractale : dans un tel classement les canaux sont analysés sans distinction, conduisant ainsi à une somme de fractales de diverses dimensions ; on peut penser que c’est la répartition spatiale qui est significative  dans l'étude de l'irrigation et non la longueur des canaux dont une partie ne sert qu'à la conduite de l'eau et non à sa distribution. Un prolongement de ce travail serait de comprendre à l'aide de  ces concepts si les réseaux sont en adéquation avec les terrains irrigués ainsi que cela a été constaté pour les canaux de la Guisane.

34c) Enfin, nous avons suggéré que la construction de ces systèmes d'irrigation correspondait à un modèle de diffusion par percolation. Pour asseoir cette hypothèse il conviendrait de tenter une modélisation de cette construction et de comparer avec les calculs réalisés en Physique (12).

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Bibliographie

Serge Frontier et Denise Pichod-Viale, Ecosystémes Structures, Fonctionnement, Evolution, Paris, Dunod (1998)

Daniel Durand, La Systémique, PUF, Que sais-je (2002)

Ivan Brissaud, Le Briançonnais, les Innovations et les cycles économiques, Cahiers d'Histoire, III-IV (2001) p.100

Ivan Brissaud et Claude Dumont, Etude comparative de quelques canaux d'irrigation de l'Arc Alpin, soumis à publication (2004)

Pierre Dubuis, Actes du Colloque International, Sion (1994)

Ezio Gerbore, Actes du Colloque International, Sion (1994)

Pierre Frankhauser, La Fractalité des Structures Urbaines, Paris, Anthropos (1994)

Jean-François Gouyet, Physique et Structures Fractales, Masson (1996)

André Dauphiné, Les Théories de la Complexité chez les Géographes, Paris, Anthropos (2003)

Hervé Le Bras, Essai de Géométrie Sociale, Paris, Odile Jacob (2001)

Etienne Guyon, Annales des Mines (1987), 17-22

Zorica Djordjevic, Multifractal nature of the generalized percolation model, Physical Review A (1988) 5968

Denise Pumain et Thérèse Saint-Julien, L’Analyse Spatiale, A.Colin (1997)

Denise Pumain et Thérèse Saint-Julien, Les Interactions Spatiales, A.Colin (2001)

Bernard Sapoval, Fractales et Universalités, Flammarion (2001)

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Notes

1  Les données ont été extraites des ouvrages suivants : Canali in Provincio di Cuneo, Biblioteca della S.S.A.A. Cuneo (1991) ;G.Bratt, The bisses of Valais,p.117 (1995) ; R.B.Smith, Italian irrigation, vol.1, (1852) ; E.E.Gerbore, Colloque  International, Sion (1994) p.241 ;H-P.Menara, Sudtiroler Waalwege, Athesia ed.(1997) ; Inventaire des canaux du Parc National des Ecrins.

2  Cette décomposition, mathématiquement excellente, a été réalisée grâce au logiciel "Loglet" élaboré par J.Yung, P.Meyer et J.Ausubel de l'Université Rockefeller de New York (Etat de New York)

3  Communication privée de G.Bodini

4  Dans une géométrie fractale la quantité L® est une fonction de la forme L®=λ*R**D, λ et D étant des constantes. On peut écrire aussi log(L)=D*log® +Cte. La courbe logL® en fonction de log® est une droite de pente D, D étant la dimension fractale qui caractérise la géométrie. Si on change d'échelle en remplaçant R par α*R, L(α R) s'écrit β*R**D, c'est-à-dire reste égal à L® à un facteur prés: il y a invariance d'échelle. Rappelons qu'en géométrie classique une courbe plane ou une surface ont une dimension entière D égale à 1 ou 2.

5  Serge Galam, Pour La Science, 306 (2003) 90 et références incluses

6  Il faut rapprocher cette conclusion de la notion de " fractale parabolique" initiée par Jean Laherrére (Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t.322, série IIa, (1997), 535) et reprise par R.Pillet pour ses études des séismes (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t.324, sérieIIa, (1997) ,805.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Ivan Brissaud, « Fractalité de certains réseaux d'irrigation de l’Arc Alpin », Cybergeo : European Journal of Geography [En ligne], Systèmes, Modélisation, Géostatistiques, document 277, mis en ligne le 23 juin 2004, consulté le 25 avril 2017. URL : http://cybergeo.revues.org/2508 ; DOI : 10.4000/cybergeo.2508

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Auteur

Ivan Brissaud

Directeur de Recherches Honoraire CNRS
ivan.brissaud@wanadoo.fr

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Droits d’auteur

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