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2012
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Simulation de l’étalement urbain de Dijon en 2030 : approche systémique de la dynamique gravitaire ville-transport

Simulation of the urban sprawl of Dijon in 2030: systemic approach of the gravitation’s dynamic city-transportation
Cyril Enault

Résumés

Avec la diffusion des principes de la dynamique des systèmes, la géographie a connu depuis les années 1980 une importante évolution, se traduisant par le développement des automates cellulaires ou des systèmes multi-agents et leur couplage progressif avec les Systèmes d’Informations Géographiques. Les travaux récents ont pu montrer que la problématique de l’étalement urbain était particulièrement bien adaptée à ce type d’approche. Cet article est centré sur la formalisation de la dynamique, en proposant de simuler la croissance urbaine sous la contrainte de la congestion du trafic intra-urbain.
La construction du modèle repose sur la combinaison d’hypothèses de fonctionnement et d’interaction des espaces urbains telles que la gravitation ou encore la mécanique des fluides (théorie du trafic). On teste ensuite la validité du système à l’échelle communale pour l’aire urbaine de Dijon ainsi que des hypothèses de croissance de la ville et de son espace périurbain à l’horizon 2030.

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Texte intégral

Introduction

1L’étalement urbain est au cœur de nombreuses problématiques de la géographie ou de l’Économie Géographique. Largement exploré dans la littérature, ce phénomène reste pourtant difficile à cerner aussi bien dans ses principes que dans ses formes.

2Pour R. A. Margo (1992) et E. S. Mills (1992), une partie de l’extension des banlieues serait imputable à la hausse du revenu des ménages (40 % aux États-Unis entre 1980 et 1990). Pour J. K. Brueckner ou D. A. Fansler (1983), la croissance de la population serait principalement à l’origine de l’étalement urbain. Enfin pour S. F. Leroy et J. Sonstelie (1983), les innovations techniques en matière de transport auraient pour conséquence un arbitrage entre une relocalisation en périphérie ou au centre ville.

  • 1 la ville à 5 km/h ou ville pédestre, la traked city ou ville du rail (transport en commun métro) et (...)

3À l’échelle mondiale, il semble évident que les formes d’étalement diffèrent selon les pays ou les continents. Les travaux de P. Newman et J. R. Kenworthy (1989, 1992, 1998) montrent, entre autres, comment la voiture a pu dessiner dans le temps les formes de la ville. La théorie des trois âges de la ville1 met en scène la voiture face à l’urbanisme des villes. Cette analyse conduit à définir une typologie de la forme urbaine. Trois modèles sont aujourd’hui envisagés : la ville dite californienne, largement dépendante de l’automobile et très étendue, peu dense ; la ville européenne, construite principalement à partir des transports en commun (dont les évolutions sont encadrées par les pouvoirs publics) ; et enfin la ville asiatique (très dense et très congestionnée).

4Les évolutions les plus récentes de l’étalement urbain montrent une plus grande prégnance du modèle californien sur les autres. Depuis les années 1970, on assiste en Europe à une nouvelle forme d’urbanisation qui conduit à un éparpillement urbain massif dans les villages autour des grandes agglomérations tout en laissant de vastes zones vides. Pour R. Ewing (1997), ce style de croissance en leapfrog, avec des discontinuités, est aussi celui de la ville américaine pour partie. Très étudié depuis les années 1980, le phénomène de périurbanisation touche aujourd’hui la plus grande partie du territoire français.

5De nombreuses études ont été lancées pour formaliser ce processus.
On distinguera tout d’abord l’étude par les densités de population, qui est la pionnière dans l’analyse des formes urbaines. Tout comme dans les travaux fondateurs de W. Alonso (1964), cette question fut d’abord rattachée au modèle concentrique (Clark, 1951 ; Newling, 1969 ; Mills, 1970 ; Bussière, 1975) avant de trouver une nouvelle issue polycentrique avec le développement de l’Économie Géographique dans les années 1980 et 1990 (Wang, Zhou, 1999 ; Small, Song, 1994 ; Song, 1994 ; Mc Donald, Prather, 1994 ; Mc Donald, 1987 ; Mahmassani, Baaj, Tong, 1988).

6D’autres voies ont, depuis, été explorées comme celles des fractals (Batty et al., 1986, 1995 ; Frankhauser, 1997) permettant alors d’intégrer la notion d’échelle au sein même de la description des formes.

7De ces approches de l’urbain, celle qui a sans doute le plus contribué à la connaissance de l’étalement est, dans le cadre quantitatif de l’analyse systémique, l’analyse différentielle avec les automates cellulaires. Fondés sur des processus stochastiques et en partant d’une distribution initiale, ces derniers permettent de suivre l’évolution d’une zone urbaine dans sa globalité (Lajoie et al., 2008) voire de simuler la dynamique de l’occupation du sol à des échelles très fines (Dubos-Paillard et al., 2003 ; Antoni, 2003).

8Notre approche arrive en complément de ces nouveaux outils et pourrait probablement fournir un support formel pour expliciter les fonctions de transition employées dans les automates cellulaires.

9Les trois hypothèses suivantes sont à la base de notre formalisation

  • La première suppose que les masses de population induisent, en statique, des flux de circulation. Dans sa forme la plus simple, le modèle gravitaire suppose ainsi que l’attraction de deux masses de population entraîne un flux s’exprimant selon une formule semblable à celle de la loi de la gravitation universelle. L’approche que nous envisageons ici s’appuie sur une forme généralisée du modèle gravitaire dans lequel on raisonne sur un espace et non plus uniquement sur un flux unidirectionnel entre deux lieux.

  • La seconde hypothèse ajoute la mécanique du flux (modèle macroscopique du trafic). Là encore, il est question d’une analogie avec la physique et plus précisément la mécanique des fluides. Selon cette approche, les flux seraient en équilibre constant dans l’espace mais avec des états de trafic différents en fonction des situations. Ce modèle introduit la fluidité et la congestion au sein des réseaux.

  • Enfin, la dernière hypothèse est encore une analogie avec les lois de la physique. Elle apporte une réponse simple à la dynamique des populations en supposant que les déplacements sont, dans le temps, la résultante du jeu des forces d’attraction en présence dans un espace.

10Notre approche vise à calculer, à partir de ces trois éléments de base, le formalisme résultant pour le système dynamique vitesse routière-densité de population.

11Fondée sur des analogies avec les lois de la physique, quelle peut être au final la validité d’une telle modélisation ? Seule la confrontation entre des données réelles et celles calculées par le modèle permet de répondre à cette question. L’approche passée et présente pour la validation n’est cependant qu’une étape avant une étude prospective. En suivant la logique de ce modèle, comment évolue alors la densité de population d’une région urbaine ? Existe-t-il plusieurs évolutions possibles ?

12Dans cet article, nous mènerons notre argumentaire en trois temps. Une première partie aura essentiellement pour objet de présenter les formalismes les plus connus pour la modélisation des flux. La seconde partie sera, quant à elle, consacrée à la définition des hypothèses de travail et à la recherche de la solution mathématique la plus probable du couple vitesse routière – densité de population. Enfin, une dernière partie se proposera d’appliquer le système dynamique dans le cadre d’une analyse régionale prospective, celle de Dijon et de son aire urbaine.

Brève revue des modèles du trafic et du formalisme gravitaire

État des lieux sur les modèles gravitaires

13Comme l’expriment G. D’Aubigny et al. (2007), l’approche gravitaire est souvent choisie, pour différentes raisons. La popularité de ces modèles est certainement due, entre autres, à l’évidence de leurs hypothèses de base (les échanges entre origines et destinations dépendent des capacités d’exportation et d’importation des lieux ainsi que de leurs degrés de séparation) et à la simplicité de leur formalisme mathématique (Isard, Bramhall, 1960).

14Historiquement, E. Ravenstein (1885) fut le premier au 19ième siècle à explorer l’analogie entre les lois de la physique et la Science Sociale. Depuis, les premières formalisations ont été largement amendées (Carrothers, 1956 ; Isard, Bramhall, 1960 ; Batten, Boyce, 1987), ce qui fait qu’il existe, aujourd’hui, plusieurs modèles en concurrence.

15La première et la plus simple des expressions suppose l’existence d’une relation proportionnelle entre le flux et la masse de population.

16Ainsi, le flux (ou le débit routier) émis à partir d’un lieu i s’exprime comme une simple émission en provenance de la population Mi soit :

[1]
Qi = GMi
Avec Qi le débit routier émis à partir du lieu i
G une constante
Mi la population du lieu i.

17Le modèle [1] est par définition a-spatial et envisage alors une masse Mi de population dont on ne définit pas la répartition dans l’espace.

18Une première évolution consiste à introduire la notion de distance au sein du modèle [1], cela suggère que le débit varie en fonction de l’éloignement au lieu de diffusion i.

19Où xi est la distance radiale au lieu i.

20En restant sur l’analogie stricte avec les lois de la physique, il est également possible de formaliser l’interaction entre deux points i et j de l’espace. On émet alors l’hypothèse que le flux global échangé dépasse la simple addition et ainsi que l’émission de i se multiplie par l’émission de j, on retrouve alors la célèbre loi de la gravitation :

21Encore aujourd’hui largement employé, ce modèle présente cependant un évident problème de limite. En effet, le flux humain diffère du champ électrostatique car il est borné en i ou en j, d’où un formalisme probablement différent. Les hypothèses d’une nouvelle modélisation prévoient notamment que le flux émis à partir d’un lieu i se calquerait sur la répartition des masses de population. Il existe alors plusieurs variantes de formalisation pour les densités de population. Le modèle le plus commun est issu d’une maximisation d’entropie (processus étudié largement par A. G. Wilson (1970)). En partant de [2] et en remplaçant la fonction de la distance par une exponentielle négative, on obtient :

[4]
Qi = GMe -αxi

  • 2 Dans le cas du polycentrisme, le plus fréquent.

22Le modèle [4] peut être généralisé comme le modèle gravitaire de base, en passant d’un lieu d’émission unique à i lieux d’émission2. Le flux global observé est alors une somme soit :

[5]
Qi = GΣiMie -αxi

23À noter que la formule [5] est proche de l’expression des densités polycentriques de l’Économie Géographique traditionnelle (Mc Donald, Prather, 1993 ; Song, 1994 ; Anas, Arnott, 1998), moyennant un facteur G.

24Le modèle [5] a été raffiné par A. G. Wilson (1970) en différenciant origine et destination. Dans l’éventualité d’une confusion entre les origines et les destinations, le modèle se résume à [5].

Les modèles macroscopiques du trafic

  • 3 cf. Lebacque,1993 pour en avoir un aperçu.

25Si le modèle gravitaire donne la mesure globale de la circulation entre deux masses de population ou l’expression générale des flux en un lieu de l’espace, les modèles du trafic introduisent3, quant à eux, la dynamique. Ils sont construits à partir de l’analogie avec les lois d’écoulement des fluides.

  • 4 Modèles s’intéressant aux conditions générales de la circulation sur les tronçons régis par les tro (...)
  • 5 Cf. Lightill et al., 1955

26Dans la littérature, il existe deux grandes familles de modèles du trafic : les modèles dits microscopiques qui analysent le déplacement à l’échelle du véhicule (en termes de vitesse, d’accélération…) et sur lesquels nous ne nous attarderons pas ; et les modèles dits macroscopiques4 qui sont en réalité des systèmes basés pour la plupart sur trois expressions. Le plus connu et le plus simple d’entre eux est le modèle LWR5.

27Comme tronc commun, ces modèles macroscopiques reposent sur trois grandeurs physiques.

▪ la densité de véhicules

ou encore la concentration véhiculaire Ki, équivalente à la variation de la quantité de véhicules présente en un lieu i δNi divisée par la variation de distance δxi.

▪ la vitesse
mesurée par le quotient de la distance sur la durée

▪ enfin le débit ou flux routier

que l’on détermine par le quotient entre la variation de la quantité de véhicules au lieu i par unité de durée.

28Les expressions [6], [7] et [8] permettent d’obtenir la relation caractéristique, première équation commune à tous les modèles macroscopiques du trafic.

[9]
Qi = KiVi

Pour l’équation dynamique du modèle (seconde expression du système), on distinguera le premier ordre des modèles d’ordre supérieurs.

29Dans le cas du premier ordre (LWR), on envisage que le flux est en équilibre constant au sein du tronçon alors que dans le second cas, il peut exister un déséquilibre au sein de l’ensemble. On emploie ce second type de modèle dans le cas d’une forte congestion entrainant une diffusion des bouchons en dynamique sur les autres secteurs du réseau. Cela se caractérise par des mouvements d’arrêt et de redémarrage des véhicules.

  • 6 Pour les cas les plus simples modèles macroscopiques d’ordre 1.

30Si l’on envisage le principe d’équilibre (modèle de premier ordre), il est possible d’exprimer une relation pour traduire la conservation des flux entre l’amont et l’aval d’une masse urbaine i6 soit :

  • 7 Non diffusion des bouchons ou de la congestion dans l’espace et le temps

31On en déduira que dans un modèle de premier ordre, il existe donc un strict équilibre des flux entrants et sortants7, soit :

32Les modèles d’ordre supérieur, quant à eux, sont bien plus complexes. Une formalisation commune y substitue le modèle d’équilibre [11] par deux équations aux dérivées partielles. Un terme de célérité différencie toutefois les différentes formalisations. Les principales variantes sont alors les modèles de H. J. Payne (1971), de P. Ross (1988), de M. Papageorgiou et al. (1990), J. M. Del Castillo et al. (1993) ou de H. M. Zhang (1998-2000).

33Pour la troisième et dernière équation du système le plus simple, il existe une grande variété d’expressions en concurrence. On appelle « diagramme fondamental » la relation générale qui relie le débit à la concentration.

  • 8 Greenshields, 1935

34La première formalisation de cette relation statistique a été proposée dans les années 1930 par B. D. Greenshields8.

[12]
Qi = -aKi² + bKi
Avec a et b deux paramètres à évaluer statistiquement.

  • 9 Le modèle de Drew (1968), Qi = aKi√Ki + bKi, L’expression de Greenberg Qi = aKilog(Ki) + bKi, La re (...)

35Depuis, d’autres formalismes, tous en concurrence, ont pu être proposés, (que nous n’indiquons qu’en note car ils ne seront pas utilisés dans la suite de cet article)9.

36Nous présentons dans la figure 1 le profil global du diagramme fondamental, correspondant à l’ajustement retenu, à savoir le modèle de Greenshields.

37On observera que le nuage s’étire le long de la courbe avec deux situations clairement définies.

  1. une partie où la vitesse augmente avec le débit et la concentration, on parle de condition de fluidité.

    • 10 Où le taux d’occupation est défini comme il suit TOi = Ki(L + l) avec TOi taux d’occupation de la c (...)

    une partie où la vitesse décroît avec le débit pour une concentration véhiculaire en augmentation10, on définit alors cette configuration comme étant saturée ou en congestion.

Figure 1. Nuage de points des taux-débit (toutes les 15 minutes) pour une station du sud de Paris : Villeneuve Saint Georges (avril 2009) (selon le modèle de Greenshields)

Figure 1. Nuage de points des taux-débit (toutes les 15 minutes) pour une station du sud de Paris : Villeneuve Saint Georges (avril 2009) (selon le modèle de Greenshields)

38Les modèles permettant de simuler le trafic sont aujourd’hui nombreux et largement employés par les économistes, les ingénieurs du trafic ainsi que les géographes. Dans ce foisonnement théorique, il est souvent difficile de procéder à un choix pour une application car chaque modèle présente ses intérêts et ses limites. L’objet de la partie suivante est de rechercher tout d’abord les hypothèses les plus pertinentes pour notre problématique dans ce corpus théorique puis de les combiner pour parvenir à une formalisation dynamique pour le couple densité de population-vitesse.

Définition des hypothèses et recherche du système dynamique vitesse routière-densité de population

Définition des hypothèses de notre modèle

Hypothèses sur l’espace

  • Pour commencer, nous définirons l’espace comme un plan lisse euclidien entièrement accessible, ce qui suppose une parfaite capillarité du réseau routier.

  • Chaque portion du territoire i se caractérise par une masse de population gi (que l’on envisagera par la densité) indépendante de la position géographique.

  • On supposera également que la ville se compose de i centres urbains : ville polycentrique

  • La vitesse routière Vi envisagée constitue une moyenne au point i, ce qui pour un espace vide conduit à un plan

Une attraction gravitaire des populations

39Notre hypothèse est que la population en un lieu i de l’espace est à l’origine d’un flux Qi. L’espace global des flux, dans une perspective polycentrique, se trouve être donc une somme d’interactions gravitaires, ce que nous avions envisagé en première partie comme :

Qi = GΣiMie -αxi

40La justification du modèle exponentiel plutôt que l’hyperbolique tient à la difficulté du dernier à rendre compte des flux pour le centre i. En effet, la modélisation prévoit un infini alors qu’il est évident que les flux émis par les populations en i sont bornés en i.

41La somme est également à discuter ; nous supposons ainsi que dans la configuration polycentrique, chaque espace i est en interaction stricte (sans intersection) avec son voisin i + 1 mais également qu’il n’existe pas de concurrence au sein des espaces. L’espace urbain est plutôt une somme des forces de chaque lieu i.

Un fonctionnement des flux selon les lois d’écoulement des fluides

  • 11 La différenciation entre les diagrammes porte essentiellement sur la partie en congestion (quand le (...)

42En suivant cette hypothèse, nous supposons que le flux peut s’exprimer aussi par les modèles du trafic. Nous faisons tout d’abord le choix du modèle de Greenshields comme diagramme fondamental, ce qui importe peu à l’échelle de l’aire urbaine11. La relation caractéristique est naturellement prise comme hypothèse, mais il reste la seconde relation dont il convient de discuter le principe.

43Dans l’absolu, les flux sont en équilibre dans un réseau donné. Or, nous considérons la diffusion d’un flux dans l’espace poreux ce qui implique des gains ou des pertes aléatoires au sein du réseau routier.

44On supposera alors que le flux entrant dans un réseau correspond au flux sortant moyennant une fonction de perte ou de gain.

45Avec L(x,t) fonction de gain ou de perte externe de flux dans l’agglomération que l’on définira par une fonction linéaire où pour une surface donnée s émet un flux L(x) = Rx

46R une constante à définir. Sur une distance xi le flux L est donc :

[14]
L(x,t) =Rxi

47De fait il en résulte le modèle simplifié suivant d’après les expressions [13] et [14] :

48En conséquence, le système suivant sera pris comme hypothèse.

Qi = KiVi

Qi = - aKi² + bKi

Forces et exercice des forces sur les déplacements

49On suppose, dans notre espace, que le mouvement est la conséquence de la répartition des masses de population et des dissymétries ou complémentarités existantes entre les lieux. Il en résulte de fait, une organisation fondée sur le principe de C. Clark (1951), comme nous l’avions suggéré mais également une logique de déplacements complexes régis par une quantité n de forces. Ces dernières trouvent leur origine dans la densité de population. On en déduira par conséquent que la vitesse ou même les flux sont en interaction avec les densités selon les lois habituelles du mouvement dans un espace que l’on pourra dans un premier temps définir comme vide. La seconde loi de Newton donne la clé ou le lien entre la vitesse d’une part et la gravitation d’autre part.

50Soit :

51Pi représente les forces gravitaires s’exerçant à un instant donné t et en un lieu i sur l’objet en mouvement dans notre espace et τi un paramètre relatif au lieu i.

Le modèle général

Exprimer la dynamique de la vitesse

52L’objet de ce paragraphe est, à partir des hypothèses de §2.1 de rechercher une expression dynamique de la vitesse en fonction de la densité.

53Pour ce faire, on part de la relation débit-concentration. En introduisant la vitesse, on montre d’après [9] et [12] que :

[17]
Vi = -aKi + b
Où Vi est la vitesse moyenne, Ki la concentration véhiculaire (ou densité de véhicules) et a et b des paramètres à déterminer.

54Recherchons ensuite la dynamique de la vitesse par la dérivée soit :

55La concentration peut être réduite par l’introduction de [15].

56Enfin, le débit Qi sous une forme dérivée en xi permet de faire apparaitre la densité gi ( =Miexp(-αxi)) dans la première équation de notre système.
Par définition, le modèle gravitaire donne la solution à ce problème de dérivation en xi soit :

  • 12 λ estime la part de la densité de population qui explique la variation de vitesse. Γ estime la part (...)

57On posera au final aGai = l et aR = G12 ; ce qui nous donne la première partie de notre système vitesse-densité.

Définition de la gravitation des populations et de la dynamique des flux

  • 13 Le repère de Frenet se définit comme un repère orthonormé mobile centré sur l’objet en mouvement. I (...)

58Pour chaque point i de l’espace, on définira un repère de Frenet13 de coordonnées curvilignes offrant ainsi la possibilité de mettre en évidence le lien densité-vitesse par le biais de la seconde loi de Newton.

59Dans une logique d’attraction gravitaire, tout flux est considéré comme convergeant ou divergeant vers la totalité des lieux i (suivant ainsi un principe polycentrique). La trajectoire alors suivie par un mobile sera fonction de la répartition gravitaire des masses de population pour l’ensemble des lieux i.

  • 14 Dans lequel on ne conservera pas la partie tangentielle, ce qui conduirait à un mouvement spiralé.

60De fait, le mouvement observé oscille entre les différentes trajectoires autour des points i. Le schéma suivant explicite les modalités de la trajectoire du mobile suivant le repère de Frenet14 soit :

Figure 2. Mouvement et attraction gravitaire

Figure 2. Mouvement et attraction gravitaire
  • 15 Selon les lois d’accélération gravitaire

61Dans ce modèle la composante radiale est par définition égale à Vi²/xi15. Il est également possible que les mouvements soient en sens contraires pour les populations. Dans ce cas, la partie Vi²/xi devient négative car contraire à l’orientation du repère de Frenet.

  • 16 Selon un processus de dés à 2 faces soit 1, soit -1 avec une partie pour accroître les chances d’ob (...)

62On proposera alors une fonction aléatoire pour modéliser les déplacements du centre vers la périphérie ou de la périphérie vers le centre16 ou plus concrètement, cela permet de formaliser des mouvements centrifuges ou centripètes (on choisit alors une fonction aléatoire pipée pour favoriser la dispersion ou la concentration).

63Soit

64f est défini comme un paramètre de randomisation pour « piper » la probabilité. Il est compris entre 0 et 0,5. Plus ce paramètre est proche de 0,5, plus la probabilité d’obtenir des mouvements de concentration est forte.

65La somme des forces Pi s’exprime selon le modèle gravitaire polycentrique défini par [5].

66D’où d’après [16] et [18] :

  • 17 ξ estime la force du lien entre vitesse et densité dans la variation de densité de population. Φ ex (...)

67On posera alors 2l/Gx= x et 2G/Gxi = F17.

68On retiendra alors le système suivant pour le couple vitesse-densité :

69et

70Le résultat que nous obtenons ici est un système dynamique mettant en relation directe la densité de population gi avec la vitesse routière Vi moyennant des variables d’ajustement. Dans la pratique, cela signifie que l’évolution de la vitesse agit sur l’évolution de la densité et inversement.

71Si le système est relativement simple dans son expression, il ne dispose toutefois pas de solution car les deux fonctions Vi et gi sont liées dans le temps par leurs dérivées.

72De par sa construction, il recèle également une partie aléatoire (aléa).

73Le paramètre τi représente, quant à lui, le taux local de croissance de la densité de population, on le calculera selon la formule suivante :

74Enfin, le modèle suit l’évolution du couple vitesse densité et cela pour un lieu i quelconque de l’espace. En conséquence, il permet dans le cadre d’une application à de multiples entités géographiques de suivre les trajectoires différenciées des espaces.

75En cela, on peut dire que, mathématiquement, notre modèle s’apparente au champ de vecteurs d’un espace géographique.

Hypothèse pour l’initialisation du modèle [20]

76Pour la vitesse initiale au niveau communal, la question se traite ainsi par hypothèse, compte tenu de l’impossibilité technique à obtenir des données pour l’époque.

77On utilise alors l’équation du diagramme fondamental en se rapprochant de la densité de population (via la concentration des véhicules).

78D’après le diagramme fondamental, on peut écrire que :
Vi = - aKi + bQi = KiVi et Qi = Ggi avec gi densité de population en i, on en déduit que
Vi² - bVi + aGgi = 0
Il existe deux solutions pour cette équation dans l’hypothèse où
Δ = b² - 4aGgi > 0

79et

80On ne retiendra que la partie non congestionnée de la courbe de vitesse (Vi’).
Dans le cas où
Δ < 0

81La solution que l’on admettra sera de type exponentielle décroissante soit :
Vi = Vi,0e-βgi
Vi,oet β sont des paramètres à définir par l’utilisateur.
En conséquence, pour toute valeur de densité à une date donnée t, on peut en déduire une valeur de vitesse associée d’après la courbe suivante (figure 3) :

Figure 3. Relation statique densité-vitesse pour date t

Figure 3. Relation statique densité-vitesse pour date t

82À l’issue de cette partie nous parvenons donc à un système relativement simple de la dynamique vitesse-densité. Il repose sur une série d’hypothèses trouvant leur source dans la dynamique du trafic, les lois du mouvement ou encore le modèle gravitaire. Si l’idée de ce formalisme, le raisonnement ou même l’expression du système ne présentent pas de difficulté majeure, son application requiert une technique spécifique et une méthodologie particulière pour l’ajustement.

83Nous proposons dans la suite de cette étude d’appliquer notre modèle à l’aire urbaine dijonnaise.

Application de la modélisation à l’aire urbaine dijonnaise

Présentation de l’aire d’étude et des données du modèle

84Dijon, capitale de la Bourgogne, est une agglomération du Nord-Est de la France, de taille moyenne, l’aire urbaine regroupant 338 000 habitants en 2007. Autrefois étoile ferroviaire de premier plan avec le croisement de la ligne PLM et des directions Nancy, Dole, la capitale bourguignonne avait perdu sa position centrale durant les années 1980 avec la construction des liaisons directes autoroutières puis ferroviaires de grande vitesse entre Paris et Lyon. Durant les années 1990, la ville a retrouvé pour partie sa position centrale avec la construction de nouvelles infrastructures routières : A 38, A31 et A39 mais a dû se contenter seulement d’une branche annexe du TGV Est. Compte tenu des enjeux économiques de la grande vitesse, la stratégie actuelle pour la ville est de refaire de Dijon un carrefour ferroviaire primordial notamment avec le TGV Rhin-Rhône et la liaison Nancy-Lyon.

85Essentiellement tertiaire et administrative, la ville reste attractive même si on observe un certain tassement au niveau de l’agglomération. En 2009, la capitale de la Bourgogne comptait 251 802 habitants pour 22 communes, avec l’intégration récente de 6 communes supplémentaires dans l’agglomération. La ville étend aujourd’hui sa sphère urbaine bien au-delà des limites du Grand Dijon (la communauté d’agglomération de Dijon) et couvre un territoire rural allant de Is sur Tille au Nord à la Saône vers l’Est.

86Dans cette étude, nous faisons le choix d’un périmètre proche de l’aire urbaine de 1990 étendue à quelques communes de 1999 (figure 4) car c’est bien dans cette zone que l’on décèle encore les plus importants changements morphologiques.

Figure 4. Présentation de l’aire d’étude

Figure 4. Présentation de l’aire d’étude

NB : Les territoires vides à l’intérieur de l’aire urbaine de 90 sont composés de vignes (Marsannay, Gevrey Chambertin), vergers, cultures (plaine de la Saône ou plateau bourguignon) ou prairies (Est de la Plaine de la Saône).

Sources : Population INSEE 1999, occupation du sol BD carto 1990, routes IGN 1/25000

87Cet espace se scinde en deux parties : le plateau bourguignon caractérisé par des vallées encaissées et généralement sèches à l’Ouest et la plaine de la Saône à l’Est. Cette topographie a encore aujourd’hui des conséquences sur la répartition de la population et l’accessibilité à Dijon. Ainsi, le plateau a longtemps été tenu à l’écart de la périurbanisation donnant une forme plus elliptique que réellement circulaire à l’agglomération dijonnaise et à ses couronnes de périurbanisation.

88L’objet de ce travail est de suivre l’évolution de cette aire urbaine en termes de densité et de niveau de congestion (au niveau communal avec les vitesses de circulation routière). Dans le cadre de cette étude, nous disposons de deux jeux de données : les populations des différents recensements sans double compte par commune de 1954 à 1999 ainsi que des données de vitesse récentes de l’aire urbaine de 1990 calculées pour les principaux axes du réseau routier (Enault, 2005) (voir figure 5).

Figure 5. Carte des vitesses moyennes par tronçon autour de 1999

Figure 5. Carte des vitesses moyennes par tronçon autour de 1999

Sources : Vitesses calculées Cybergeo Enault 2005

89Les données de vitesse ne seront pas intégrées dans le modèle mais serviront en revanche pour le calage de la simulation.

90Il faut bien distinguer la vitesse en tant que telle, qui est déjà une variation dans le temps, mais très petite, de la variation de vitesse qui est employée dans notre formalisme [20]. En cela, on peut dire que les variations de densité de population ont les mêmes temporalités que celles des variations de vitesse ici retenues.

  • 18 Le calcul repose sur un calage avec des relevés sur le terrain mais aussi et surtout sur un formali (...)

91Certes, en théorie, la mesure d’une densité à un instant t donné n’est pas du même ordre que la vitesse, elle aussi à un instant t donné. Mais dans notre carte de la figure 5, la situation est légèrement différente ; les valeurs de vitesse peuvent être comparées aux densités car elles représentent déjà des moyennes sur une période relativement longue (entre 5 et 10 ans). Le principe de calcul des vitesses de la figure 518, que nous ne rappellerons pas ici, fait que les valeurs obtenues ont des temporalités moyennes et non instantanées.

Application du modèle et tests de validité

921/ Le modèle [20] suit l’algorithme décrit en annexe 1. Ce dernier se définit comme un calcul incrémental où l’on va intégrer dans une feuille Excel les valeurs de densité de population pour la date initiale en 1954. Il conviendra également de fixer les quatre paramètres du modèle [20].

λ estime la part de la densité qui explique la variation de vitesse
ξ estime la force du lien entre vitesse et densité dans la variation de densité de population
Γ estime la part constante de décroissance de la variation de vitesse
Enfin Φ, exprime la part de croissance de la variation de densité liée à la vitesse

93Le principe de cet algorithme est simplement de faire varier pour chaque pas de temps la densité de population et cela par commune en même temps que la vitesse moyenne agrégée.

94À chaque itération, le couple est repris puis réinjecté dans l’algorithme à l’étape suivante jusqu’à ce que l’on parvienne à la date de fin de la simulation (à fixer par l’utilisateur) - le programme existe dans une version Visual Basic associée à une feuille Excel -.

952/ L’opération la plus complexe consiste en un ajustement des paramètres λ, Γ, ξ et Ф. On effectue cette étape en employant une feuille secondaire Excel (annexe 2) qui a pour objet de déterminer les valeurs du couple vitesse/densité en partant d’un couple initial. Avec ce principe, il est plus simple de déterminer la fourchette à définir pour les paramètres du modèle pour parvenir à des valeurs souhaitées.

963/ À titre de calibrage, le modèle [20] doit nous fournir des données du couple densité/vitesse cohérentes avec le réel. On recherche alors les valeurs de λ, ξ, Γ et Φ pour lesquelles on obtient les meilleurs ajustements réel/théorique. L’analyse de ces ajustements s’effectue en comparant par régression les données réelles du recensement de 1999 avec les données de densité obtenues par simulation. On observe alors les résidus à la droite d’équation
Densité réelle = densité théorique.

Figure 6a et 6b. Validation de la simulation avec les données réelles (densité et vitesse)

Figure 6a et 6b. Validation de la simulation avec les données réelles (densité et vitesse)

97Pour les données de 1954 (initial gi54 et Vi54), la densité initiale gi54 est issue des données du recensement alors que les données de vitesses sont calculées à partir des équations du § 2.2.3..

Discussion sur les deux scénarii de croissance urbaine

  • 19 L’étalement serait donc limité par une vitesse moins élevée que dans l’autre scénario. On peut émet (...)
  • 20 Φ exprime la part de croissance de la variation de densité liée à la vitesse

98Les deux scénarii se différencient essentiellement par leur rapport à la vitesse. Dans le premier, l’impact de la forte vitesse sera moindre que dans le second ; cela suppose donc un effet différencié du coût du pétrole sur les déplacements. Dans le premier scénario, la vitesse pourrait être moins élevée donc le coût du pétrole serait plus important que dans le second scénario. La simulation dite de « croissance modérée » semble donc la plus probable19. La valeur de Ф20 détermine la nature duscénario (1, 2 et la multitude de variations entre les bornes de Ф).

99Pour des valeurs comprises entre 0.0008 et 0.0066, l’ajustement du modèle [20] reste à peu près constant et tout à fait conforme à la réalité en 1999. Nous en déduisons qu’il peut donc exister entre ces bornes une variété de solutions pour les futurs de l’aire urbaine de Dijon si on utilise le modèle pour faire des projections. Observons également que dans l’ensemble des situations testées, les valeurs des vitesses restent relativement voisines.

100La figure 7 présente deux simulations en 2030 (selon deux scénarii) pour la densité de population et la figure 8 la carte 3D de l’espace-vitesse en 2030 (avec une autre situation de densité associée).

Figure 7. Deux scénarii de la croissance urbaine dans l’aire urbaine dijonnaise

Figure 7. Deux scénarii de la croissance urbaine dans l’aire urbaine dijonnaise

Figure 8. Présentation des résultats de la simulation du système [20], variante  (0.0080)

Figure 8. Présentation des résultats de la simulation du système [20], variante  (0.0080)

101Commençons par décrire l’espace-vitesse de 2030.
Il présente une forme comparable à l’espace-vitesse de 1999 mais avec des variations quant à la valeur globale des paramètres du modèle. On y trouve ainsi un espace que l’on peut considérer comme principalement plat (avec des vitesses moyennes communales tournant autour de 65-70 km/h) parfois affecté par des « puîts » de faible vitesse. Ces derniers sont directement la conséquence des masses de population.

102À ce titre, la déformation la plus importante se situe au niveau de l’agglomération dijonnaise où l’on observera un véritable « gouffre » (zone de congestion). La transition entre l’intérieur de l’agglomération et la périphérie s’effectue selon un gradient relativement isotrope (sauf pour les territoires de l’Est et du Sud-Est). En ces lieux, la vitesse reste encore en dessous de la vitesse moyenne périurbaine.

103En comparaison de 1999, la congestion de 2030 semble s’intensifier dans la plupart des simulations avec un puît central de près de 15 km de rayon contre 7 actuellement, pour des vitesses comprises entre 0 et 35 km/h. Cela se traduit par une saturation qui pourrait s’étendre aux communes de banlieue les plus importantes : Chenove, Fontaine les Dijon, Talant, Saint Apollinaire, Quetigny et Chevigny Saint Sauveur. Les vitesses dans ces communes pourraient être comprises entre 50 et 30 km/h en moyenne.

104A contrario, le reste de l’espace périurbain conserverait une bonne fluidité avec toutefois un léger différentiel entre l’Est et l’Ouest.

105Enfin, la simulation fait apparaître des pôles secondaires en périphérie de l’aire urbaine (Genlis) avec là encore une réduction ponctuelle des vitesses sur la RD 905.

106Si dans l’ensemble des simulations, on observe un renforcement de la congestion, la densité de population, quant à elle, suit des trajectoires plus différenciées selon les scénarii.

107Commençons par énumérer les éléments communs aux différents scénarii.

  • le pôle central tend à se densifier et à s’étendre en intégrant les banlieues dans les zones de forte densité.

  • La périurbanisation se renforce également mais selon des modalités qui diffèrent avec les scénarii.

  • un certain équilibrage Est-Ouest des densités semble s’opérer.

108La croissance « modérée » : Ф = 0.0008 
Plusieurs éléments caractérisent cette situation :

  • 21 Nettement moins dense dans ses parties Nord et Sud (sur le plateau)

109Tout d’abord, le noyau semble se renforcer tant dans sa partie centrale que dans sa partie périphérique. Les villes de Quetigny et de Chevigny se trouvent intégrées au cœur urbain (plus de 2000 habitants/km²). Autour du noyau, se dresse une zone suburbaine, qui est actuellement périurbaine, avec un développement plus important dans la partie Est. À l’Ouest, les densités s’étirent le long de l’A 38. Parallèlement, le pôle de Genlis pourrait croître mais en conservant son indépendance vis-à-vis de Dijon. De nouveaux pôles secondaires pourraient également apparaître dans le périurbain dijonnais le long de la RD968 ou la RD996. Au delà des zones urbaines, à proprement parler, on trouverait une première couronne périurbaine de transition, large de 3 km (entre 100 et 200 habitants/km²). Cette dernière pourrait s’étendre au Nord de l’agglomération jusqu’à Is sur Tille et surtout en direction de la Saône le long de la RD 996 et de la RD 968. Enfin, la limite entre la seconde et troisième couronne serait, quant à elle, repoussée aux franges de l’aire urbaine de 1990, en opposant encore l’Ouest21 à l’Est. Dans ce dernier cas, la seconde couronne dépasserait les limites de l’aire urbaine de 1990.

  • 22 Intégrant par là même des communes situées actuellement en limite de l’agglomération.
  • 23 Avec un rayon de 5 voire 6 km de large en moyenne

110L’étalement massif : Ф = 0.0066
Dans ce scénario, le noyau urbain s’étendrait également par rapport à 1999 mais de manière peut-être plus modeste que précédemment. On y observerait des densités en stagnation dans les parties centrales et un élargissement en direction de l’Est. Les banlieues poursuivraient alors leur extension dans une couronne moyenne de 5 km de rayon autour du noyau22. Dans ce scénario, les banlieues seraient toutefois plus étendues en direction de la plaine de la Saône, ce qui aboutirait à l’intégration dans l’agglomération des actuels pôles secondaires du périurbain. Les axes principaux du périurbain pourraient devenir dans ce cas des catalyseurs pour la croissance des densités. Autour de ces ensembles, se développerait une première couronne périurbaine de transition (très fine), sur les territoires situés actuellement en deuxième couronne23. Les extensions seraient plus importantes en direction de la Saône et de Is sur Tille. Enfin, et c’est sans doute la spécificité de ce scénario, la limite de la seconde couronne arriverait quasiment dans toutes les directions au-delà de l’aire urbaine de 1990. On peut donc penser que ce scénario privilégie l’hypothèse d’une diffusion plus large de la périurbanisation que dans le premier cas, doublée d’un renforcement des banlieues de Dijon.

Conclusion

111La question de l’étalement urbain dans son rapport à la vitesse de circulation ou à l’accessibilité des lieux habités a pu trouver ici une réponse même s’il convient d’en discuter les nuances.

112À partir d’hypothèses simples, nous sommes parvenus à construire un système reliant la vitesse à la densité de population selon des principes dynamiques. Le modèle gravitaire s’impose ici comme un support pour une approche couplée trouvant également ses autres inspirations dans les lois du trafic. Il en résulte un système d’équations différentielles dont nous avons pu tester les limites et par la suite éprouver la validité dans le cadre d’une étude régionale (l’aire urbaine de Dijon). Deux scénarii peuvent être alors proposés : un premier dans lequel le noyau central devrait se renforcer et s’étendre sensiblement et un second où le développement urbain se réaliserait préférentiellement sous la forme d’une périurbanisation à faible densité.

113Les avantages de cette modélisation tiennent avant tout dans sa simplicité d’utilisation et de formulation, son adaptabilité au réel et les multitudes de formes qu’elle peut adopter.

114En revanche, ses limites principales tiennent à sa simplicité, qui par certains côtés peut conduire à un appauvrissement de la dynamique réelle ville-transport bien plus complexe. La plus grande carence de ce modèle provient du choix délibéré d’une modélisation du couple basée sur un modèle macroscopique LWR modifié.

115Plusieurs évolutions ou suites pourraient être proposées pour ce système. Une première consisterait à revoir la formulation de base de l’hypothèse du pseudo équilibre du trafic dans le modèle LWR. Deux options sont alors envisageables : une première serait de développer des modélisations d’ordres supérieurs comme les modèles de Payne ou de Ross et une seconde, la plus satisfaisante dans le cadre d’une étude à l’échelle d’une agglomération, consisterait à rechercher d’autres formalismes plus proches de la géographie. On pourrait par exemple, considérer un flux poreux dynamique et non plus une simple fonction linéaire de la distance comme cela est actuellement le cas.

116Une réflexion pourrait être menée également sur le signe de la fonction aléatoire (alea) entrant dans le calcul des mouvements radiaux.

117Enfin, et c’est peut-être là que se trouve le plus grand chantier, il serait intéressant de simuler la dynamique de l’étalement urbain à une échelle infra communale. Notre modélisation systémique fournirait la base pour une fonction de transition (à savoir les grands vecteurs de la croissance ou de la décroissance) à l’échelle des communes et un modèle probabiliste intégrant le hasard permettrait ensuite de répartir les masses nouvelles de bâti à l’échelle infra communale.

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Annexe

  

Annexe 1 : algorithme de la macro Visual Basic de feuille de Calcul EXCEL.

Encadré 1 : Macro Visual Basic de la fonction [20] accessible par un bouton dans la feuille Excel

Private Sub CommandButton1_Click()
{Definition des variables}
Dim t As Integer
Dim i As Integer
{Initialisation du compteur de temps}
tfin
 = Cells(7, 10).Value
{initialisation des densités et des vitesses en 1954}
For i = 2 To 1000
If Cells(i, 3).Value = 0 Then
Cells(i, 12).Value = ""
Else
Cells(i, 12).Value = Cells(i, 3).
delta = 80 ^ 2 - 4 * 1.6 * Cells(i, 3).Value
If delta > 0 Then
Cells(i, 13).Value = (80 + Sqr(80 ^ 2 - 4 * 1.6 * Cells(i, 3).Value)) / 2
Else
Cells(i, 13).Value = 250 * Exp(-0.0018 * Cells(i, 3).Value)
End If
End If
Next
{Début de la boucle itérative de temps}
For t = 0 To tfin
For i = 2 To 2000
If Cells(i, 3).Value = 0 Then
Cells(i, 13).Value = ""
Else
{introduction d’une condition de positivité des densités}
If Cells(i, 12).Value < 0 Then
Cells(i, 12).Value = 1
Else
{calcul du système differentiel}
Cells(i, 13).Value = Cells(i, 13).Value - Cells(19, 10).Value * Cells(i, 12).Value - Cells(15, 10).Value
Cells(i, 12).Value = Cells(i, 12).Value + (-1) ^ (Round(Rnd + 1.25)) * (Cells(23, 10).Value * Cells(i, 12).Value * Cells(i, 13).Value * Cells(i, 8).Value + Cells(27, 10).Value * Cells(i, 13).Value)
End If
End If
Next
Cells(3, 10).Value = t
Next
End Sub

Annexe 2 : feuille d’ajustement des paramètres pour le modèle [20]

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Notes

1 la ville à 5 km/h ou ville pédestre, la traked city ou ville du rail (transport en commun métro) et enfin la rubber city ou ville caoutchouc dont les formes sont dessinées par la voiture.

2 Dans le cas du polycentrisme, le plus fréquent.

3 cf. Lebacque,1993 pour en avoir un aperçu.

4 Modèles s’intéressant aux conditions générales de la circulation sur les tronçons régis par les trois grandeurs : débit, vitesse et densité.

5 Cf. Lightill et al., 1955

6 Pour les cas les plus simples modèles macroscopiques d’ordre 1.

7 Non diffusion des bouchons ou de la congestion dans l’espace et le temps

8 Greenshields, 1935

9 Le modèle de Drew (1968), Qi = aKi√Ki + bKi, L’expression de Greenberg Qi = aKilog(Ki) + bKi, La relation de Underwood Qi = aKie-bKi, Enfin la relation de May (1990), la plus actuelle Qi = aKie-bKi², D’autres formes plus générales peuvent également exister comme Qi = aKie-(1/b)(Ki/Ke)a

10 Où le taux d’occupation est défini comme il suit TOi = Ki(L + l) avec TOi taux d’occupation de la chaussée, Ki la concentration. Deux constantes : L longueur du tronçon et l ce que le traficien qualifie de longueur électrique (distance de mesure minimale pour le recueil des données de trafic pour les boucles électromagnétiques)

11 La différenciation entre les diagrammes porte essentiellement sur la partie en congestion (quand le taux ou la concentration véhiculaire est très forte). Une tangente vers 0 pour la vitesse (qui fait que la vitesse ne peut jamais atteindre 0) est une solution pour déterminer la congestion. L’autre option, la plus simple et celle retenue, consiste en la prise en compte d’une vitesse pouvant devenir négative ; cela permet de mettre en place une logique de congestion avec diffusion des bouchons.

12 λ estime la part de la densité de population qui explique la variation de vitesse. Γ estime la part constante de décroissance de la variation de vitesse.

13 Le repère de Frenet se définit comme un repère orthonormé mobile centré sur l’objet en mouvement. Il est décrit par deux coordonnées : la coordonnée tangentielle qui est tangente à la trajectoire de l’objet et la coordonnée radiale qui est perpendiculaire à cette dernière. La coordonnée tangentielle est formalisée par l’accélération dV/dt et la coordonnée radiale par le carré de la vitesse divisé par la distance au centre de courbure, soit V²/xi. On peut, dans certain cas, linéariser les deux coordonnées en écrivant M = dt/dt + V²/xi

14 Dans lequel on ne conservera pas la partie tangentielle, ce qui conduirait à un mouvement spiralé.

15 Selon les lois d’accélération gravitaire

16 Selon un processus de dés à 2 faces soit 1, soit -1 avec une partie pour accroître les chances d’obtenir soit un 1 soit un -1.

17 ξ estime la force du lien entre vitesse et densité dans la variation de densité de population. Φ exprime la part de croît de la variation de densité liée à la vitesse.

18 Le calcul repose sur un calage avec des relevés sur le terrain mais aussi et surtout sur un formalisme dérivé des modèles LRW.

19 L’étalement serait donc limité par une vitesse moins élevée que dans l’autre scénario. On peut émettre l’hypothèse que cette situation serait la conséquence à la fois d’un coût plus élevé du pétrole (entrainant un surcoût des déplacements rapides) mais également d’une maitrise de l’étalement par les aménageurs via les transports routiers (construction limitée de voies rapides). Par croissance « modérée », on entend une évolution ralentie de l’étalement.

20 Φ exprime la part de croissance de la variation de densité liée à la vitesse

21 Nettement moins dense dans ses parties Nord et Sud (sur le plateau)

22 Intégrant par là même des communes situées actuellement en limite de l’agglomération.

23 Avec un rayon de 5 voire 6 km de large en moyenne

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Table des illustrations

Titre [2]
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Titre [3]
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Titre [8]
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Titre [10]
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Titre [11]
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Titre Figure 1. Nuage de points des taux-débit (toutes les 15 minutes) pour une station du sud de Paris : Villeneuve Saint Georges (avril 2009) (selon le modèle de Greenshields)
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Titre [13]
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Titre [16]
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Titre [18]
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Titre Figure 2. Mouvement et attraction gravitaire
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Titre [19]
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Titre Figure 3. Relation statique densité-vitesse pour date t
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Titre Figure 4. Présentation de l’aire d’étude
Légende NB : Les territoires vides à l’intérieur de l’aire urbaine de 90 sont composés de vignes (Marsannay, Gevrey Chambertin), vergers, cultures (plaine de la Saône ou plateau bourguignon) ou prairies (Est de la Plaine de la Saône).
Crédits Sources : Population INSEE 1999, occupation du sol BD carto 1990, routes IGN 1/25000
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Titre Figure 5. Carte des vitesses moyennes par tronçon autour de 1999
Crédits Sources : Vitesses calculées Cybergeo Enault 2005
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Titre Figure 6a et 6b. Validation de la simulation avec les données réelles (densité et vitesse)
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Titre 6b
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Titre Figure 7. Deux scénarii de la croissance urbaine dans l’aire urbaine dijonnaise
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Titre Figure 8. Présentation des résultats de la simulation du système [20], variante  (0.0080)
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Pour citer cet article

Référence électronique

Cyril Enault, « Simulation de l’étalement urbain de Dijon en 2030 : approche systémique de la dynamique gravitaire ville-transport », Cybergeo : European Journal of Geography [En ligne], Systèmes, Modélisation, Géostatistiques, document 592, mis en ligne le 15 février 2012, consulté le 22 mai 2017. URL : http://cybergeo.revues.org/25157 ; DOI : 10.4000/cybergeo.25157

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Auteur

Cyril Enault

Conseil Général du Val de Marne, SCESR Rungis
Chargé d’études
Cyril.enault@cg94.fr

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Droits d’auteur

© CNRS-UMR Géographie-cités 8504

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