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2014
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Dimensions fractales de réseaux vectoriels : méthodes d’estimation et robustesse des résultats

Nathalie Thommeret, Jean-Stéphane Bailly, Jean-Marc Bardet, Brigitte Kaiser et Christian Puech

Résumés

L’analyse fractale des réseaux hydrographiques a donné lieu à de nombreux travaux (Tarboton et al., 1988 ; Rodriguez-Iturbe et Rinaldo, 1997 ; Hauchard et al., 1999 ; Forriez et al., 2010), alors même que les valeurs du principal indicateur fractal – la dimension fractale – n’ont que rarement alimenté des comparaisons selon leur mode d’obtention ou des discussions sur l’incertitude qui les caractérise. Les réseaux hydrographiques sont un cas particulier, relativement simple, de la grande famille des réseaux de transport qui de Hagget et Chorley (1969) à Strano et al. (2012) ont suscité réflexion théorique et applications en géographie prospective et aménagement (Dupuy, 1991 ; Frankhauser et Genre-Grandpierre, 1998 ; Porta et al., 2006). Nous nous intéressons ici aux réseaux vectoriels, typiquement des réseaux construits comme assemblage déterministe ou aléatoire de segments unitaires (fig. 2) ou des réseaux extraits à partir de modèles numériques de terrain de type raster avec une taille de cellule fixée (fig. 4, fig. 7), au-dessous de laquelle il n’existe plus de données informatives. Nous nous focalisons sur les méthodes d’estimation de dimensions fractales, qui soient, autant que faire se peut, dans le droit fil des méthodes mathématiques de calcul d’une dimension asymptotique et privilégions une analyse de type monofractal.
Partant, d’une part, de la distinction entre fractale mathématique infinie et fractale de la nature, d’autre part, du rappel des différentes dimensions théoriques (asymptotiques) auxquelles se rattachent les dimensions empiriques que nous utilisons, nous mettons ici l’accent sur trois résultats méthodologiques. Le premier, l’apport des réseaux simulés – dont le mode de construction est connu –, permet d’apprécier la pertinence des divers estimateurs selon les caractéristiques des réseaux (leur ramification, leur degré de hiérarchisation, par exemple) et, au total, autorise une mise en garde vis-à-vis de certaines procédures très répandues – lorsqu’elles sont appliquées à de petits réseaux notamment. Le second concerne la détermination nécessaire à nos yeux d’un domaine de fractalité enserré dans des limites obtenues selon une procédure non subjective, et entre lesquelles est calculée la valeur de l’estimateur fractal (fig. 8 et fig. 11) ; cette procédure exigeante peut conduire à une réduction conséquente de l’intervalle de validité mais est utile pour des comparaisons. Enfin, l’importance de la notion d’instabilité des résultats selon le niveau hiérarchique du réseau (fig. 13, fig. 14, tab. 1), distincte de l’incertitude qui, pour les réseaux aléatoires, a pu être évaluée pour chaque niveau hiérarchique en répétant les mesures un grand nombre de fois (50 et 100 réalisations – réseau de Scheidegger et réseau binaire bruité, respectivement ; tab. 1) est mise en valeur.
Les trois estimateurs de dimension fractale que nous comparons sont, l’un, un estimateur traditionnel en hydrographie (DHS) car fondé sur la topologie du réseau, plus particulièrement sur les rapports de Horton-Strahler (Horton, 1945 ; Strahler, 1957) ; les autres, la dimension obtenue par comptage de boîtes (DB) et la dimension de corrélation (DC). Le cas d’un réseau de talwegs extrait à partir de MNT semble montrer que les résultats d’estimation les plus stables sont obtenus à partir de cette dernière méthode (tab. 3).

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Texte intégral

Les auteurs remercient l’ORE Draix qui a permis l’acquisition et la validation des données MNT à partir desquelles les réseaux de talwegs ont été extraits. Ils remercient également les relecteurs attentifs qui ont permis de préciser et d’améliorer ce travail.

1La géométrie fractale, considérée comme la géométrie de la nature (Mandelbrot, 1975, 1982), est utilisée dans de nombreux domaines des géosciences et de la géographie (Gouyet, 1992 ; Frankhauser, 1994, 2005 ; Gao et Xia, 1996 ; Rodriguez-Iturbe et Rinaldo, 1997 ; Martin, 2000, 2008 ; Lam et De Cola, 2002 ; Tannier et Pumain, 2005 2005 ; Turcotte, 2007 ; Forriez et al., 2010). Elle fournit un cadre mathématique permettant d’appréhender des figures irrégulières ou fragmentées, qu’elles soient des ensembles de points, de courbes ou de surfaces.

  • 1 Une loi d’échelle représente une relation générale entre diverses grandeurs sans dimension décrivan (...)

2Les fractales peuvent être caractérisées – sinon définies – comme des objets dont la structure reste strictement ou en distribution de probabilité la même à toutes les échelles d’observation possibles ; elles sont alors dites autosimilaires ou auto-affines et suivent des « lois d’échelle »1. On distingue les fractales mathématiques, obtenues par construction déterministe ou probabiliste, des fractales de la nature dont les modalités d’élaboration ne sont pas forcément connues. La courbe de Peano, celle de von Koch, le tapis de Sierpinski, l’ensemble triadique de Cantor ou celui dit de Mandelbrot (Douady et Hubbard, 1982) appartiennent au premier groupe ; la côte de Bretagne (l’exemple fondateur ; Mandelbrot, 1967), la sinuosité des rivières, l’arborescence du réseau hydrographique, la porosité des sols, illustrent la fractalité naturelle. L’existence de celle-ci a toutefois suscité des réserves en raison du petit nombre d’ordres de grandeur sur lesquels elle semble se déployer (Meakin et al., 1995 ; Fleury, 1998). Certains ont pu ainsi parler de fractalité apparente (Hamburger et al., 1996 ; Avnir et al, 1998).

3Mathématiquement, la caractérisation de la fractalité est asymptotique et la transposition des méthodes développées pour des objets abstraits infinis à des objets réels finis pose certaines questions (Lesne, 2004). Les propriétés des objets fractals mathématiques peuvent se prêter à une étude théorique et être parfois connues exactement. Celles des objets naturels résultent plutôt d’études statistiques. La principale question porte sur la gamme d’échelles (et ses bornes) pour laquelle l’objet présente des structures fractales. Il paraît nécessaire de prendre en compte le fait que les objets analysés ne sont souvent que des modèles de représentation d’objets réels. À ce propos, le mode de représentation numérique des objets géographiques sous la forme d’objets vectoriels n’est pas sans effet.

4D’autres questions primordiales concernent le principal indicateur fractal appelé dimension fractale. Il existe une diversité des définitions avec des significations différentes (Gouyet, 1992 ; Godin, 2003). En particulier, il existe des dimensions fractales théoriques et des estimateurs de ces dimensions que l’on peut désigner sous le terme de dimensions empiriques. Pour les fractales autosimilaires de manière stricte et déterministe (typiquement issues d’un procédé de construction que l’on itère), les différentes dimensions théoriques que nous considérerons sont de même valeur ; mais pour des fractales plus complexes (typiquement issues d’un système dynamique chaotique ou de processus stochastiques) cette équivalence n’est pas assurée. Enfin, pour des objets naturels pour lesquels seules des dimensions empiriques sont accessibles, la pertinence de leurs calculs dépend – essentiellement – de la taille des objets considérés, mais aussi d’autres facteurs comme le choix de la gamme des échelles d’investigation ou la qualité des mesures effectuées.

5L’approche des réseaux hydrographiques par la géométrie fractale a déjà fait l’objet de nombreux travaux (Tarboton et al, 1988 ; La Barbera et Rosso, 1989 ; Rodriguez-Iturbe et Rinaldo, 1997 ; Crave et Davy, 1997 ; Hauchard et al., 1999, 2002 ; Schuller et al., 2001). Dans le cas présent, nous nous intéressons aux réseaux de talwegs dans des secteurs densément ravinés. Ces réseaux sont considérés comme une image simplifiée du relief. Nous exposons selon quelle démarche, avec quels résultats et dans quelles limites nous pouvons calculer une dimension empirique d’un tel objet réel, petit, irrégulier. On retiendra deux approches d’estimation différentes. La première est une approche géométrique aboutissant à deux dimensions : la dimension par comptage de boîtes (Gouyet, 1992) et la dimension de corrélation (Grassberger et Procaccia, 1983). La seconde est liée aux paramètres morphométriques classiques décrivant la topologie du réseau arborescent que sont les rapports de Horton-Strahler (Horton, 1945 ; Strahler, 1957 ; Dodds et Rothman, 1999). Dans ce travail la comparaison des modalités et qualités d’estimation porte d’abord sur des réseaux virtuels simulés dont le mode d’obtention est connu, cette étape ouvrant des pistes et des mises en garde pour l’estimation des dimensions fractales de réseaux naturels.

6Nos objectifs, ici, sont tout d’abord de poser les filiations mathématiques, même lointaines, des différentes dimensions empiriques que nous utilisons avec les dimensions fractales asymptotiques « mères » (jusqu’à la dimension de Hausdorff, la plus citée), et par là même d’avoir une première compréhension théorique des différences entre nos résultats, qu’ils portent sur des réseaux simulés ou sur le cas d’un réseau naturel. Il s’agira aussi de mieux reconnaître les diverses contraintes et conditions pratiques (nature des données initiales, nombre et qualité des mesures) qui influencent les résultats ; sans oublier les tests statistiques appropriés qui permettent de retenir ou rejeter l’un ou l’autre de ces résultats. Ceci rejoint un souci essentiel qui est de pouvoir comparer les estimations de la dimension fractale, les nôtres entre elles, voire – sans trop d’illusion – celles de la littérature avec les nôtres. Pour les réseaux naturels particulièrement, nous scruterons aussi précisément que possible l’existence et l’étendue d’une linéarité Log-Log, celle qui sous-tend le modèle de type monofractal. Nous choisissons l’exploration exigeante d’un modèle simple dont nous marquerons les limites plutôt que de recourir d’emblée à d’autres voies formelles, qui restent ouvertes.

Les réseaux hydrographiques : vocabulaire et données

Éléments de sémantique des réseaux hydrographiques

  • 2 Selon cette classification, un drain sans tributaire est d’ordre 1 et un drain résultant de la conf (...)

7L’objet que nous manipulons est un réseau qui peut être perçu à différents niveaux d’abstraction (fig. 1). Dans la réalité physique, le réseau hydrographique est constitué de drains ou tronçons qui ont leur forme propre avec leur longueur, leur sinuosité. Ils peuvent être classés en unités linéaires ordonnées et hiérarchisées en fonction de la répartition spatiale des confluences. Dans ce travail, on traite le réseau des talwegs de ravines comme un réseau hydrographique avec la même classification de Horton-Strahler2.

8Dans un système d’information géographique, le réseau réel est représenté sous forme d’objets vecteurs connexes suivant un schéma topologique d’arborescence formant un réseau vectorisé. Le réseau est découpé en unités élémentaires appelées arcs, définis comme la portion de linéaire entre deux nœuds. Ceux-ci correspondent aux sources, confluences et exutoire. En mode vecteur, la géométrie de l’arc est composée de points appelés vertices (singulier vertex) qui sont reliés entre eux par des segments de droite, dits segments unitaires. Ce mode de représentation correspond à un modèle géographique de réseau dans lequel la taille du segment unitaire fixe une limite inférieure à l’obtention de données informatives.

9À un niveau d’abstraction supérieur, le réseau est représenté sous la forme d’un graphe arborescent décomposé en arêtes orientées et sommets. Les sommets correspondent aux nœuds du réseau vectoriel et les arêtes sont les liens entre les sommets. Ce graphe arborescent est valué au niveau des sommets et des arêtes. Par exemple, la géométrie des arcs (longueur, indice de sinuosité, etc.) est attribuée aux arêtes. Chaque arête est orientée (dans le sens d’écoulement) et chaque sommet est sommet amont d’une seule arête (excepté pour l’exutoire non suivi d’arête) : il n’y a donc pas de boucle.

Figure 1 : Trois représentations d’un réseau de talwegs et sémantique associée

Figure 1 : Trois représentations d’un réseau de talwegs et sémantique associée

Les réseaux simulés

10Afin de repérer plus aisément certaines difficultés intrinsèques, nous abordons les procédures d’estimation des dimensions fractales de réseaux sur des réseaux-types simulés dont les paramètres sont connus. Trois types de modèles ont été choisis (fig. 2) : les réseaux aléatoires de Scheidegger, d’une part, les arbres binaires parfaits et quasi-parfaits, d’autre part. Leurs formes les rattachent à des schémas érosifs différents que l’on retrouve dans les paysages ravinés : réseaux de griffures ou rigoles qui courent avec une orientation privilégiée sur un versant plan fortement incliné, pour les premiers ; réseaux de grandes ravines profondes juxtaposées les unes aux autres, faisant entre elles des angles quasi constants (2θ) dans les amphithéâtres amont des bassins versants, cas du réseau binaire à angle (θ) 60° (tant que le niveau hiérarchique n’est pas trop élevé).

Figure 2 : Les familles de réseaux

Figure 2 : Les familles de réseaux

a) Branche d’un réseau aléatoire de Scheidegger. b) Réseau binaire parfait (RL = √2, θ = 90°, niveau d’itération = 8). c) Réseau binaire avec bruit sur les longueurs (RL = 1,667, σ(Rl) = 0,05, θ = 60°, niveau d’itération = 6)

11La première famille de réseaux a été créée dès la fin des années soixante par Scheidegger, cherchant à modéliser les réseaux « hortoniens » par des processus stochastiques. Il s’appuyait alors sur des observations à méso-échelle (la disposition des bassins de drainage sur le versant nord de la vallée alpine du Rhône suisse). Ces réseaux simulés tendent donc aussi à respecter les « lois de Horton ». Ils valent pour une bande comprise entre deux lignes droites parallèles (la ligne de crête et le fond de la vallée principale), la pente forte virtuelle de la surface drainée (le flanc de montagne) n’autorisant aucun cours d’eau à adopter un tracé dirigé vers le haut (backward). Selon la terminologie de Scheidegger, il s’agit d’un directed network (up to down). La grille qu’il a utilisée est à maille triangulaire avec des points en ligne décalés d’une ligne à l’autre (fig. 3). Chaque point de la grille est drainé. Le caractère aléatoire réside dans le choix, à partir d’un point donné, de poursuivre au hasard le drainage vers la droite ou vers la gauche, en direction de l’un ou l’autre des deux points les plus proches en contrebas. Le réseau est spatialement homogène et son dessin, assez simple, ne montre que deux orientations du linéaire.

12D’autres auteurs ont utilisé une grille à maille carrée ou à maille carrée diagonalisée qui tout en respectant le principe du up to down permet de multiplier les orientations des drains (de Vries et Eckhardt, 1997). Les valeurs des angles entre drains sont aussi plus variées. Les divers types de réseaux de Scheidegger sont spatialement homogènes (chaque point étant drainé) et apparaissent peu hiérarchisés (quoique fortement ramifiés), les convergences des drains d’ordre supérieur à 2 ne se produisant que lentement.

Figure 3 : Réseaux de Scheidegger : grilles de points et orientations du linéaire

Figure 3 : Réseaux de Scheidegger : grilles de points et orientations du linéaire

a) Grille de points choisie par Scheidegger pour simuler un réseau aléatoire se développant dans une bande contenue par deux droites parallèles (d’après Scheidegger, 1967, « A stochastic model for drainage patterns into an intramontane trench »).
b) Différentes grilles utilisées pour générer un réseau de Scheidegger (d’après de Vries et Eckardt, 1997) : (1) triangulaire, (2) carrée, (3) carrée étendue aux diagonales. Cas 1, le réseau ne fait apparaître que deux orientations du linéaire (grosso modo NNE-SSW et NNW-SSE, en supposant le haut dirigé vers le nord). Cas 2, deux orientations. Cas 3, quatre orientations ; si le drainage n’admet aucune orientation selon la ligne de pente nulle alors il ne reste que trois orientations. Les réseaux de Scheidegger que nous avons simulés correspondent à cette configuration avec trois orientations (N-S, NE-SW, NW-SE).

13Nous avons simulé les réseaux de Scheidegger de la manière suivante : nous attribuons aléatoirement une altitude entre 0 et 1 à chaque point d’une grille régulière, puis la grille est inclinée de sorte qu’il ne reste aucun minimum local. Les réseaux sont tracés en suivant le chemin de plus grande pente (vers l’un des trois voisins en contrebas). Ils ne possèdent aucun paramètre en dehors de la taille totale de la grille de points et de l’espacement entre les points qui est choisi fixe ici.

14La deuxième famille est celle des réseaux construits de manière déterministe en suivant des règles hiérarchiques de longueurs et d’angles (Garcia-Ruiz et Otalora, 1992 ; Masek et Turcotte, 1993). Ces réseaux sont binaires, c’est-à-dire que chaque confluence a exactement deux arcs amont. Les paramètres de construction sont le rapport de longueur des arcs (RL) entre niveaux hiérarchiques successifs, l’angle (2θ) entre les deux arcs amont (fig. 2c), et le niveau d’itération. On part du segment le plus long au niveau d’itération zéro ; à chaque incrémentation du niveau d’itération le réseau se développe vers l’amont et son ordre hiérarchique s’élève. À l’intérieur de cette famille, on distingue les réseaux dont les paramètres permettent que les arcs ne se recoupent jamais – même lorsque le niveau d’itération est proche de l’infini – des réseaux qui finissent par se recouper. Même si, par certains aspects, ces derniers sont plus proches des réseaux réels qui ne sont ni réguliers ni des objets dont les règles de composition peuvent être répétées à l’infini (ne serait-ce qu’en raison de la contrainte de voisinage), nous n’étudierons évidemment pas les niveaux pour lesquels les arcs se recoupent, le réseau devenant globalement trop peu réaliste.

15À partir des réseaux déterministes, nous créons une autre famille de réseaux dont la longueur est bruitée : pour la création de chacun des arcs, le paramètre de rapport de longueur est une valeur tirée au hasard suivant une loi normale de moyenne RL et d’écart-type σ (i.e. le paramètre RL obtenu intègre un bruit gaussien centré et d’écart-type σ).

L’ensemble des simulations et des calculs a été réalisé avec les logiciels R et SAGA GIS.

Le cas d’un réseau naturel

16Le cas « réel » exploré ici (fig. 4) est le réseau de talwegs du bassin du Moulin, situé dans les secteurs très disséqués des Préalpes de Digne (badlands de Draix), et pour lesquels l’Observatoire de recherche en environnement ORE Draix a acquis des MNT à très haute résolution. Les réseaux traités ont été extraits à partir de MNT raster à deux résolutions (i.e. taille de cellule) différentes : 1 m et 2 m (Puech et al., 2009), puis représentés en mode vectoriel, en planimétrie. À la résolution 1 m, le bassin du Moulin possède une densité de drainage de 120 km-1 (soit 120 km.km-2), un rapport de longueur (RL) de 2,05 et un rapport de confluence (RC) de 3,95. À la résolution 2 m, il possède une densité de drainage de 85 km.km-2, un rapport de longueur de 2,11 et un rapport de confluence de 4,12. (RL) et (Rc) ont été obtenus par une méthode de régression (cf. note 2).

Figure 4 : Réseau du Moulin extrait à partir d’un MNT raster à 1 m

Figure 4 : Réseau du Moulin extrait à partir d’un MNT raster à 1 m

Représentation vectorielle (bassins expérimentaux de Draix, système de coordonnées Lambert 3)

Concepts de la géométrie fractale et méthodes d’estimation des dimensions

Objet fractal, autosimilarité et non-rectifiabilité

17La géométrie fractale, souvent considérée aujourd’hui comme appropriée à la représentation de formes naturelles, s’enracine historiquement dans les recherches abstraites sur des objets mathématiques « monstrueux » correspondant à des courbes continues en tout point mais dérivables en aucun point, difficiles à appréhender par la géométrie euclidienne classique (Cantor, 1883 ; Hilbert, 1891 ; von Koch, 1904 ; Sierpinski, 1915 ; Hausdorff, 1919). Bien d’autres travaux fondamentaux en géométrie, analyse et probabilités ont nourri la création mathématique d’objets irréguliers, fragmentés, dotés d’invariances, rassemblés – et construits – par Mandelbrot sous l’appellation retentissante de « fractales », en français (Mandelbrot, 1975, 1986). Le pas fut franchi d’étendre avec enthousiasme (trop d’enthousiasme ?) le modèle fractal à des formes compliquées naturelles. D’où la question : Are fractal everywhere ? (copiée de Fractal everywhere, Barnsley, 1988). D’où, peut-être, la difficulté de donner une définition des fractales et le recours à de simples propriétés comme l’autosimilarité, l’auto-affinité (dans ce cas, les rapports de réduction ou d’agrandissement d’une échelle à l’autre ne sont pas les mêmes selon les différentes directions de l’espace) et la non-rectifiablité (celle-ci appliquée à une courbe signifie que la courbe n’a pas de longueur finie ; Gouyet, 1992 ; Tricot, 2008). De plus, il y a une grande différence à introduire entre les dimensions fractales « théoriques » qui d’une manière ou d’une autre font appel à une propriété asymptotique et ne peuvent donc être considérées que pour des fractales « théoriques » infinies et les dimensions fractales empiriques qui peuvent être calculées pour des objets réels finis mais dont le mode de calcul requiert des choix et dont les valeurs sont entachées d’une incertitude.

Les dimensions fractales

La notion de dimension fractale

18La notion de dimension fractale constitue le principal indicateur de la fractalité d’un objet. Elle mesure en quelque sorte le degré d’irrégularité et de fragmentation d’un ensemble géométrique mathématique ou représentant un objet naturel (Mandelbrot, 1975, 1982). Contrairement à la dimension topologique appelée encore dimension de recouvrement de Lebesgue (qui est de 1 pour une droite, de 2 pour un plan et de 3 pour un volume), la dimension fractale peut prendre – et prend souvent – une valeur non entière. Elle est dite parfois dimension fractionnaire (Mandelbrot, 1967) même si ce nombre peut être irrationnel. La dimension fractale d’un objet est toujours supérieure ou au mieux égale à sa dimension topologique. Un réseau linéaire planimétrique (voire un simple tronçon sinueux) a une dimension fractale comprise entre 1 et 2. Plus sa dimension est proche de 2, plus le réseau remplit l’espace plan.

19On parle souvent de la dimension fractale comme d’une valeur unique attribuée à un objet. Or il existe plusieurs dimensions fractales, qui en général ne fournissent pas des valeurs identiques. On parlera alors des dimensions fractales d’un objet. Nous en présentons ici quelques-unes qui nous semblent avoir un intérêt pour l’étude des réseaux de talwegs et son arrière-plan théorique.

Les dimensions théoriques

La dimension de Hausdorff

20La dimension de Hausdorff – souvent appelée « la » dimension fractale – est une dimension théorique d’un ensemble de points qui ne prend en compte que la position de ces points. Elle fut introduite en 1918 par Hausdorff et s’obtient de la manière suivante :

21On considère un ensemble A de points de l’espace (R3). Pour r un réel positif, on considère des ensembles Sn de A (où les n sont des entiers) ayant tous un diamètre (distance maximale entre deux points de Sn) inférieur à r, et tels que l’ensemble constitué par l’union de tous les Sn recouvre A. La famille d’ensembles Sn ainsi définie s’appelle un r-recouvrement de A. Ensuite pour tout r positif et tout α positif, on cherche le r-recouvrement de A qui minimise la somme des diamètres des Sn à la puissance α. Lorsque l’on considère la limite de cette somme quand r tend vers 0, on obtient la mesure de Hausdorff de A de dimension α qui est un réel positif que nous noterons mα(A). Lorsque l’on fait varier α entre 0 et l’infini, on s’aperçoit qu’il existe un seuil s tel que pour α<s, mα(A) est infini et tel que pour α>s, mα(A) =0. Ce seuil s est ce que l’on appelle la dimension de Hausdorff de A, que nous noterons DH(A) ou plus simplement DH. On montre facilement que pour tout ensemble A dans l’espace, 0≤DH≤3 ; pour tout ensemble A dans un plan, 0≤DH≤2 ; enfin pour tout ensemble A sur une droite, 0≤DH≤1.

La dimension de Kolmogorov

22La dimension de Kolmogorov (ou dimension de Minkowski-Bouligand) est une version asymptotique de la méthode plus connue du comptage de boîtes (voir ci-dessous). Le principe de calcul de cette dimension est de recouvrir l’ensemble A avec des boîtes de même taille (typiquement des pavés disjoints) puis de faire varier la longueur ε du côté de la boîte (i.e. du pavé) et de compter à chaque variation le nombre minimal de boîtes N(ε) nécessaires pour couvrir entièrement A. La dimension de Kolmogorov DK correspond à la limite, si elle existe, du rapport entre le logarithme de N(ε) et - Log ε lorsque ε tend vers zéro, soit :

23Lorsque cette limite n’existe pas, on remplace la limite par une limite supérieure qui est le plus grand nombre réel tel que :

se rapproche une infinité de fois d’aussi près que l’on veut de s quand ε tend vers zéro. Comme précédemment pour la dimension de Hausdorff, on a pour tout ensemble A dans l’espace, 0≤DK≤3 ; pour tout ensemble A dans un plan, 0≤DK≤2 ; enfin pour tout ensemble A sur une droite, 0≤DK≤1. Il existe également une relation entre les dimensions de Hausdorff et de Kolmogorov d’un ensemble A :

D≤ DK

24Pour de nombreuses fractales « théoriques », en particulier les fractales construites à partir d’un procédé itératif répété un nombre infini de fois (typiquement un ensemble de Cantor ou une courbe de von Koch), on a DH = DK, mais ceci n’est pas vrai dans le cas général. Un contre-exemple simple est celui de l’ensemble des rationnels de l’intervalle [0,1], qui est dense dans [0,1] (c’est-à-dire tel que tout réel de [0,1] peut être encadré d’aussi près que l’on veut par deux rationnels de [0,1]), et donc de dimensionDK =1, alors que DH =0. On peut se reporter aussi aux fractales obtenues comme attracteurs de systèmes dynamiques chaotiques (Ruelle, 1989).

La dimension d’autosimilarité

25La dimension d’autosimilarité (DA) s’applique aux courbes et aux figures fractales strictement autosimilaires dont les différentes pièces constitutives sont construites par itérations successives avec un seul et même rapport de réduction q (a unique down scale factor) ; elle ne peut donc être utilisée que dans un nombre limité de cas, car ce type de procédé de construction de fractales est loin d’être général. On pourrait prendre l’exemple de la courbe de von Koch (fig. 5) qui est construite selon des règles déterministes. On part d’un segment de longueur L (itération 0) sur lequel on retire le 1/3 central que l’on remplace par un triangle équilatéral sans base de coté L/3 (itération 1). On recommence cette opération sur chacun des quatre segments de cette nouvelle forme (itération 2) et ainsi de suite. La courbe de von Koch correspond à la limite de cette construction lorsque le nombre d’itérations tend vers l’infini. D’une manière générale, à la nième itération on dispose de 4n segments qui sont dans un rapport de longueur 1/3n avec le segment initial. En reprenant la relation générale mise en avant par Sapoval (1997, p. 63) selon laquelle la dimension d’autosimilarité correspond au logarithme du nombre de morceaux nécessaires pour couvrir l’objet, rapporté au logarithme du rapport d’agrandissement faisant coïncider ces morceaux avec l’objet initial, nous obtenons ici DA = Log 4n/ Log 3n = Log4/Log 3 1,2618.

Figure 5 : Premières itérations pour la construction de la courbe de von Koch ; la courbe fractale correspond à la limite atteinte lorsque le nombre d’itérations tend vers l’infini

Figure 5 : Premières itérations pour la construction de la courbe de von Koch ; la courbe fractale correspond à la limite atteinte lorsque le nombre d’itérations tend vers l’infini

26Plus généralement pour un objet autosimilaire, la dimension d’autosimilarité DA est donnée par le rapport suivant (Gouyet, 1992) :

(2)

avec N le facteur de décomposition et q le facteur unique de réduction d’une étape à une autre (ce qui s’écrit aussi DA = LogN/Log1/q, avec 1/q le rapport d’agrandissement).

27Notons que la position des éléments contenus dans l’ensemble n’intervient pas. Seuls comptent leur nombre et leurs tailles relatives. Des formes différentes peuvent avoir la même dimension. Lorsque les itérations se répètent infiniment, la longueur de la courbe tend vers l’infini de même que toute portion entre deux points de cette courbe : la courbe est dite non-rectifiable.

Les dimensions empiriques

28Les différentes dimensions fractales théoriques ne peuvent, hors cas très particuliers, être calculées pour des fractales de la nature ni même souvent pour des fractales mathématiques (typiquement l’attracteur de Hénon). Nous présentons ici trois dimensions empiriques qui peuvent être, sous certaines conditions, des estimateurs convergents des dimensions théoriques présentées ci-dessus.

Dimension de comptage de boîtes

29La dimension de comptage de boîtes reprend la définition de la dimension de Kolgomorov DK(éq. 1) en l’adaptant au cas réel qui est non asymptotique (on dispose d’un nombre fini de points ou de segments), c’est-à-dire au cas où ε ne tend pas vers 0 mais où ε peut prendre des valeurs suffisamment petites par rapport au diamètre général de l’ensemble (de manière à fournir un nombre de boîtes suffisamment grand) sans être pour autant « petit ». En effet, dans le cas où l’ensemble A est un ensemble fini de points, lorsque ε devient plus petit qu’un certain seuil, dans chaque boîte il n’y a qu’un seul point, et ainsi le nombre de boîtes est le même que le nombre de points et la dimension de comptage de boîtes tend vers 1 si ε se rapproche encore plus de 0. Dans le cas où l’ensemble A est un réseau constitué de segments, lorsque ε devient plus petit qu’un certain seuil εc, toute boîte de taille ε recouvrant un segment ne couvre aucun autre segment en dehors des points de concours entre les segments. Or pour recouvrir un segment de longueur L par des boîtes de taille ε, il faut L/ε boîtes. Ainsi le nombre de boîtes nécessaires pour recouvrir le réseau évolue en 1/ε et ainsi la dimension de comptage de boîtes tend vers 1 si ε se rapproche encore plus de 0. Il apparaît donc que le choix de la gamme de valeurs que l’on retient pour ε est décisif. Concrètement, une fois choisie une famille (ε1, ε2, …, εn) on effectue la régression des LogN(εi) par les -Logεi. On obtiendra ainsiDB, dimension de comptage de boîtes de la fractale pour la famille (ε1, ε2, …, εn). Il est clair que plus une fractale naturelle est composée d’un grand nombre de points (ou segments), plus DB converge vers la dimension DK de la fractale « théorique » (obtenue avec une infinité de points ou de segments), sous réserve que la dimension de Kolmogorov DK existe comme limite, et non comme limite supérieure (Hall et Wood, 1993 ; Cutler, 1991).

30La figure 6 donne un exemple de calcul de DB. Sur le graphique de la régression, les points résultant du comptage de boîtes sont presque alignés et la pente de la droite de régression est la dimension DBde l’ensemble. Dans le cas d’un seul cours d’eau, la dimension obtenue traduit l’existence de méandres et la tortuosité de la forme. On le voit, l’indicateur morphométrique donné par la dimension fractale est synthétique. Toutefois, en considérant le nombre élevé de boîtes nécessaires pour couvrir un objet avec ses détails, on approche concrètement la complexité de la forme de l’objet. D’après J.-F. Gouyet (1992), la méthode du comptage de boîtes est intéressante pour de nombreuses structures fractales.

Figure 6 : Principe du calcul de la dimension fractale par comptage de boîtes (inspiré de Gouyet, 1992)

Figure 6 : Principe du calcul de la dimension fractale par comptage de boîtes (inspiré de Gouyet, 1992)

Dimension de corrélation

31Pour rendre plus robuste le calcul de la dimension de comptage de boîtes, Grassberger et Procaccia (1983) ont popularisé une autre dimension empirique appelée dimension de corrélation. Le calcul de cette dimension s’effectue sur des points (X1,…,Xn) constitutifs de la fractale considérée. Pour un rayon ε choisi « suffisamment » petit, on détermine P(ε) qui est la proportion de couples (Xi,Xj) issus de (X1,…,Xn) dont l’interdistance est inférieure à ε (il y a en tout n(n-1)/2 couples (i,j) tels que (1 ≤ i < j ≤ n). On effectue ce calcul pour plusieurs valeurs (ε1, ε2, …, εn) choisies « suffisamment petites », puis tout comme pour la dimension de comptage de boîtes, on réalise une régression des LogP(εi) par les moins Logεi (-Logεi). La pente de la droite de régression est la dimension DC.

32Il est à noter que, tout comme la dimension de comptage de boîtes est un estimateur naturel de la dimension de Kolmogorov, la dimension DC est un estimateur naturel de la dimension théorique DC applicable à une fractale constituée d’un nombre infini de points et définie par :

(3)

où P(ε) est la proportion de couples de points dont l’interdistance est inférieure à ε parmi tous les couples de points de la fractale (là encore une limite supérieure peut remplacer la limite simple si celle-ci n’est pas définie).

33Une question intéressante concerne les relations entre DA, DH, DK et DC. Pour des fractales issues d’une itération infinie et donc autosimilaires de manière déterministe, il y a égalité entre ces différentes dimensions. Mais dans le cas plus général de fractales mathématiques, la dimension DA n’est pas calculable et l’on a juste des inégalités entre les dimensions :

D≤ D≤ DK

34Une telle relation se retrouve sur les estimations, donc en général DC ≤ DBlorsqu’il y a « suffisamment » de points pour effectuer des estimations convergentes.

Dimension par les rapports de Horton-Strahler

35Il est connu que Horton (1945) puis Schumm (1956) et Strahler (1957) se sont intéressés à la topologie des réseaux hydrographiques. Quelques décennies plus tard, leur approche quantitative a été reliée à la dimension fractale des réseaux (La Barbera et Rosso, 1989 ; Tarboton, 1996 ; Rodriguez-Iturbe et Rinaldo, 1997 ; Dodds et Rothman, 1999). On considère les deux rapports RC et RL qui décrivent de manière simple la structure arborescente des réseaux et qui sont censés permettre, sous certaines conditions, de calculer une dimension fractale apparentée à la dimension d’autosimilarité. En effet, le rapport de confluence revient à savoir, pour chaque niveau hiérarchique, combien de drains sont en moyenne nécessaires pour créer un drain du niveau hiérarchique supérieur. Le rapport de longueur peut alors être considéré comme un facteur moyen d’agrandissement de taille d’un niveau hiérarchique à l’autre. Ainsi, on pose :

(4)

avec RC le rapport de confluence et RL le rapport de longueur (cf. note 2).

Cette formule (éq. 4) est comparable à la formule (éq. 2), 1/RL jouant le rôle de facteur de réduction et RC celui du facteur de décomposition.

36Les conditions d’utilisation de DHS comme estimateur de dimension fractale ont parfois été indiquées : homogénéité spatiale du réseau (Moussa et Bocquillon, 1993), pertinence des valeurs de RC et RL. Certains travaux (de Vries et Eckhardt, 1997 ; Dodds et Rothman, 2001) ont montré que les plus petit et plus grand ordres biaisent le résultat final. Ainsi, ils proposent de ne pas prendre en compte l’ordre 1 et l’ordre maximal du réseau pour le calcul des rapports de Horton. Mais ce qui peut être justifié pour les grands réseaux (atteignant des ordres hiérarchiques de 10 ou plus) ne peut être retenu pour les réseaux de ravines représentés à haute résolution où les tronçons d’ordre 1 donnent leur spécificité au bassin.

Transposition des méthodes à un objet vectoriel fini

37Insistons sur le fait que les objets naturels dont il est question ici sont finis et ne peuvent être qualifiés de « fractals » que sur une certaine gamme d’échelles (Peckham, 1995 ; Pelletier et Turcotte, 2000 ; Roland et Fleurant, 2004). Dans le cas des réseaux de talwegs, on fait l’hypothèse qu’ils possèdent une organisation fractale, mais on sait, avant toute vérification de cette hypothèse, qu’à partir d’une certaine limite vers les échelles de mesure fines, on ne verra plus l’organisation des talwegs eux-mêmes mais la structure du matériau dans lequel ils s’inscrivent. Ce matériau correspond à un autre objet. Ainsi il n’est plus question du caractère asymptotique de la dimension fractale.

38De plus, nous travaillons sur des représentations vectorielles de réseaux et celles-ci sont contraintes par la taille de cellule du MNT à partir duquel les réseaux sont extraits. Les arcs sont composés de segments unitaires rectilignes (fig. 7) dont la longueur, la même pour tous, est égale à la taille de cellule du MNT (dite parfois résolution du MNT). Cette représentation numérique conduit à une courbe qui sera irrégulière dans les échelles grossières (sa longueur variant avec le pas de mesure) mais rectifiable dans les échelles de mesure fines (sa longueur étant alors proportionnelle au nombre de segments rectilignes unitaires). Ainsi, l’estimation de l’irrégularité de la forme du réseau – et de sa fractalité – est limitée dans les échelles de mesure fines par la taille de cellule du MNT au-dessous de laquelle on ne dispose plus de données informatives. Pour les réseaux de Scheidegger – réseaux simulés – la taille de maille de la grille de points joue ce même rôle limitant.

Figure 7 : Rectifiabilité des réseaux vectoriels

Figure 7 : Rectifiabilité des réseaux vectoriels

Estimation de dimension fractale par comptage de boîtes sur réseaux simulés

Détermination d’un domaine empirique de fractalité

39Dans les paragraphes qui suivent nous nous attachons à la méthode par comptage de boîtes en mettant en valeur quelques règles de comportement de réseaux vectoriels simulés. Nous traitons en premier lieu des réseaux de Scheidegger, réseaux aléatoires reconnus comme « the simplest, physically reasonable model of river network » (Dodds et Rothman, 2001, p. 29). La première information concerne l’existence de plusieurs « pentes » dans la relation Log-Log, ainsi que nous le voyons sur la figure 8. Celle-ci concerne un réseau de Scheidegger simulé d’ordre cinq.

40Lorsque la taille de la boîte est inférieure à la taille du segment unitaire, la pente tend vers 1. Comme indiqué ci-dessus, le domaine des petites boîtes est celui où la longueur du linéaire devient proportionnelle au pas de mesure. On sort de l’objet fractal du fait de la limite des données. Cette première limite est facile à déterminer. Une seconde limite s’impose. Elle correspond vers les grandes tailles de boîtes à l’apparition d’une forte variabilité dans les résultats du comptage, en particulier du fait du positionnement de ces grandes boîtes par rapport au réseau. La droite d’ajustement qui se dessine alors perd de sa légitimité. Entre les deux limites, il existe un domaine porteur de sens en termes d’invariance et une pente qui est l’estimation de la dimension fractale, avec ici DBvalant environ 1,7. Ce domaine entre les deux limites en rouge (fig. 8) est parfois appelé domaine d’autosimilarité, mais nous préférerons l’appeler « domaine empirique de fractalité ».

Figure 8 : Détermination du domaine à considérer pour l’estimation de la dimension fractale par comptage de boîtes – exemple du réseau de Scheidegger

Figure 8 : Détermination du domaine à considérer pour l’estimation de la dimension fractale par comptage de boîtes – exemple du réseau de Scheidegger

41Il est possible de déterminer ces limites de manière automatique. La méthode consiste à rechercher les points de rupture (marqués en rouge sur la figure) entre les domaines qui suivent des tendances linéaires différentes. Pour cela, on considère trois régressions linéaires et on recherche les points de rupture qui minimisent la somme des carrés des écarts des points aux trois droites (Bai et Perron, 1998, ont montré la pertinence d’une telle technique de détection de points de rupture). Le coefficient directeur de la deuxième droite estimée permet de calculer une dimension du réseau. Plus de détails sur la méthode utilisée sont donnés en annexe (note intitulée « quelques éléments sur la méthode de détection automatique du domaine empirique de fractalité »).

42Nous observons (fig. 8) que la limite inférieure déterminée à l’aide de cette méthode est pertinente : elle correspond à la valeur de la maille de la grille, ici 1 m.

Exemples de détermination du domaine empirique de fractalité pour des réseaux simulés

43Nous cherchons ici à tester la cohérence des résultats de l’estimation par comptage de boîtes pour différents paramètres géométriques d’une même structure. La fonction logarithmique utilisée ici correspond au logarithme népérien de base e.

Effet de la longueur du linéaire – pour une même structure de réseau simulé (réseau de Scheidegger)

44Pour apprécier l’effet de la taille du réseau, nous avons réalisé un comptage de boîtes sur quatre réseaux emboîtés. Ils se développent sur des domaines de tailles différentes et, ainsi, possèdent des longueurs de linéaire différentes. Les sous-ensembles sont issus d’un découpage d’un réseau de Scheidegger simulé sur une grille 200*200 cellules de taille unitaire 1 m (fig. 9). Ces quatre réseaux présentent une même organisation spatiale, on peut s’attendre donc à une même dimension fractale. On observe que le point de transition marquant la limite inférieure du domaine d’estimation de la dimension fractale correspond visuellement à la même taille de boîte pour les quatre réseaux (cette taille est celle de la maille de la grille de départ) et que visuellement les pentes prennent des valeurs très proches (et donc des valeurs de DB quasiment identiques). En revanche, on constate un décalage vertical entre les quatre courbes, qui s’explique directement par la variation de la longueur totale de linéaire et donc par le nombre de boîtes pour chacun des réseaux : plus la longueur totale est importante, plus il faut de boîtes d’une taille donnée pour couvrir le réseau et plus la courbe est décalée vers le haut (pour une boîte de 1 m de côté, on passe ici d’environ 2 400 à 40 000 boîtes).

Figure 9 : Décalage vertical des résultats de comptage de boîtes pour quatre sous-parties d’un réseau simulé (réseau de Scheidegger)

Figure 9 : Décalage vertical des résultats de comptage de boîtes pour quatre sous-parties d’un réseau simulé (réseau de Scheidegger)

Les limites supérieures indiquées sont approximatives. Le réseau 4 est le plus petit sous-ensemble, ici d’ordre de Strahler 5. Toutes les branches se réunissent implicitement dans un drain unique à l’aval.

Effet d’un « étirement » (réseau de Scheidegger)

45Nous avons en quelque sorte étiré ou dilaté un réseau de Scheidegger : quatre réseaux sont générés à partir de quatre grilles comportant 100*100 cellules mais dont la taille de cellule diffère, prenant respectivement les valeurs de 1, 2, 4 et 8 mètres. La pente qui permet d’estimer la dimension de boîtes est quasiment la même pour les quatre réseaux avec un simple décalage horizontal de la limite inférieure. Ce décalage rend compte des différentes tailles de cellule (fig. 10). On ne constate pas de décalage vertical du point marquant la limite inférieure car le rapport entre la taille du domaine et la taille des cellules est constant.

Figure 10 : Décalage horizontal des résultats de comptage de boîtes par extension d’un réseau de Scheidegger (extension du domaine et de la taille des cellules)

Figure 10 : Décalage horizontal des résultats de comptage de boîtes par extension d’un réseau de Scheidegger (extension du domaine et de la taille des cellules)

Effet de l’orientation du réseau (réseau de Scheidegger)

46Une rotation de 45° a été réalisée sur un réseau de Scheidegger. On observe sur la figure 11 que la rotation du réseau n’a qu’un impact très négligeable sur le domaine pertinent pour l’estimation de la dimension fractale par comptage de boîtes. On retrouve presque exactement les mêmes points de transition et les mêmes pentes. Ceci traduit donc bien la distribution statistique de l’orientation des arêtes, quasi-constante entre les réseaux. Le décalage sur la partie gauche du graphique est expliqué par la variation de la proportion de segments en diagonale. Il en est de même pour les résultats, quoique moins réguliers, obtenus avec les grandes tailles de boîtes.

Figure 11 : Effet de la rotation du réseau sur le comptage de boîtes (réseau de Scheidegger)

Figure 11 : Effet de la rotation du réseau sur le comptage de boîtes (réseau de Scheidegger)

Le cas des réseaux binaires

47La méthode d’estimation par comptage de boîtes sur les réseaux binaires parfaits ou quasi-parfaits (fig. 2) fait de même apparaître trois pentes dans la relation Log-Log ; celle du côté des petites tailles de boîtes prenant comme précédemment la valeur 1 et pour la même raison (la longueur du linéaire devient proportionnelle au pas de mesure).

48Pour le réseau binaire parfait construit avec un angle de 90°, un rapport de longueur de √2, et susceptible par itérations successives d’occuper tout l’espace, la pente centrale se rapproche de la valeur 2, celle de la fractale déterministe autosimilaire stricte correspondante.

  • 3 On rappelle que pour les réseaux binaires parfaits, le niveau d’itération plus 1 correspond à un ni (...)

49Les expériences ont montré que plus le nombre d’itérations est élevé – et donc aussi le niveau de hiérarchisation du réseau3– plus le domaine d’estimation de la dimension fractale est large, la limite inférieure se déplaçant vers la gauche, du côté des petites tailles de boîtes (celles-ci permettant de couvrir des arcs de plus en plus petits). La sensibilité à la hiérarchisation du réseau se retrouve dans les grandes tailles de boîtes avec une plus ou moins grande instabilité des résultats du comptage de boîtes selon le niveau d’itération (de fait, avec une forte instabilité des résultats pour une faible hiérarchisation). Cette instabilité se retrouve sur divers réseaux et intervient dans la précision des estimations dont nous discutons ensuite.

Incertitude des estimateurs selon les types de réseaux simulés

50La détermination de l’incertitude sur l’estimation des dimensions fractales est difficile (que l’estimation soit par comptage de boîtes, par la méthode de corrélation, ou par les rapports de Horton-Strahler). On pourrait être tenté d’utiliser, notamment pour les réseaux déterministes, l’intervalle de confiance portant sur le coefficient directeur de la droite de régression « Log-Log », qui n’est autre que la dimension de comptage de boîtes. Cependant, ceci est contestable lorsque les résidus ne sont pas indépendants et non gaussiens, ce que les expériences numériques ne semblent pas attester.

51Nous tentons d’apporter ici des éléments de réponse pour les réseaux comportant un aspect aléatoire. L’incertitude des réseaux aléatoires est fondée sur la répétition de l’estimation de la dimension sur un grand nombre de réseaux (jusqu’à 100 réalisations). Une série de tirages d’un même type de réseau – et avec le même niveau hiérarchique (même ordre de Horton- Strahler) – est effectuée et la dispersion des résultats analysée. Sur l’ensemble des 50 ou 100 valeurs, nous retenons comme bornes d’un intervalle de confiance celles qui permettent de conserver 95 % des valeurs autour de la moyenne. Nous supposons que les 5 % de valeurs extrêmes ne sont pas significatives.

52Outre l’incertitude sur les valeurs, on peut juger de leur stabilité selon les niveaux hiérarchiques. Les types de réseaux simulés et les résultats par niveau hiérarchique selon les types d’estimateurs sont présentés tableau 1. Lorsque cela est possible, les valeurs de dimension obtenues sont comparées aux valeurs des dimensions asymptotiques théoriques ou à des valeurs rapportées dans la littérature.

Les réseaux binaires

53Les résultats obtenus sur les réseaux binaires parfaits montrent que pour un niveau hiérarchique élevé, la dimension de boîtes tend vers la valeur de la dimension asymptotique et théorique (fig. 12).

54Le réseau binaire parfait avec angle de confluence à 90° admet la valeur de référence 2. Celle-ci correspond à la dimension fractale théorique d’une courbe infinie autosimilaire stricte construite par itérations successives : il s’agit d’une dimension d’autosimilarité DA obtenue en application de la formule (éq. 2) et valant ici Log2/Log→2. Cette valeur 2 est aussi celle de l’estimation de la dimension fractale du réseau par les rapports de Horton-Strahler (DHS). On constate que les réseaux de faible niveau hiérarchique montrent une dimension de boîtes fort éloignée de la valeur de la dimension asymptotique – ce qui n’est pas une surprise – alors que les réseaux fortement hiérarchisés (à partir de l’ordre 9) se rapprochent de plus en plus de cette valeur.

Figure 12 : Évaluation des dimensions fractales estimées par comptage de boîtes pour différents niveaux hiérarchiques

Figure 12 : Évaluation des dimensions fractales estimées par comptage de boîtes pour différents niveaux hiérarchiques

À gauche, réseau 1 : binaire parfait RC =2, RL = √2, θ = 90° ; à droite, réseau 2 : binaire parfait RC =2, RL = 1,67, θ = 60°.

55Le réseau binaire parfait avec angle θ à 60° (angle de confluence à 120°, fig. 2) montre également des différences considérables selon le niveau de hiérarchisation (fig. 12). Avec le développement du réseau associé à la multiplication et à l’amenuisement des branches externes, la dimension de boîtes approche (et même dépasse un peu selon les résultats du calcul) la dimension théorique DA d’une courbe infinie autosimilaire stricte qui vaudrait ici 1,36 (Log 2/Log 1,67). Ce rapport est aussi celui des valeurs des rapports de Horton.

56Les estimations de la dimension de corrélation montrent une convergence plus rapide vers des valeurs proches de la dimension asymptotique, et aussi des valeurs plus stables, notamment pour le réseau binaire parfait à 60°. Les calculs très longs, et ce d’autant plus que le réseau est développé, n’ont pas été poursuivis au-delà du niveau hiérarchique 12 (tableau 1).

57Pour le réseau binaire bruité, les valeurs moyennes de DB obtenues sur 100 réalisations augmentent régulièrement avec le niveau hiérarchique et peuvent être considérées comme robustes à un niveau hiérarchique élevé (fig. 13 et tableau 1). Les réseaux d’ordre 8 ou supérieur sont seuls à s’approcher de la valeur 1,36, valeur de référence retenue pour le réseau non bruité. La dimension de corrélation DC permet, une fois encore, d’approcher plus rapidement cette valeur (dès le niveau 7) et les estimateurs se révèlent plus stables à travers les niveaux hiérarchiques (tableau 1). Quant à la faible dispersion des estimations obtenues sur ce réseau par les rapports de Horton-Strahler, elle résulte tout simplement de la faible valeur de l’écart-type sur le rapport des longueurs (RL).

Figure 13 : Évaluation de la dimension fractale estimée par comptage de boîtes et par les rapports de Horton pour différents niveaux hiérarchiques

Figure 13 : Évaluation de la dimension fractale estimée par comptage de boîtes et par les rapports de Horton pour différents niveaux hiérarchiques

Réseau 3 : binaire bruité RC =2, RL = 1,67, σ(RL) =0,05, θ =60°, 100 réalisations par niveau hiérarchique

Les réseaux de Scheidegger

58Les dimensions fractales de réseaux aléatoires de Scheidegger révèlent un comportement moins évident que les réseaux binaires. Quatre remarques peuvent être formulées :

  • L’estimation par les rapports de Horton-Strahler présente une très forte incertitude et apparaît très instable selon les ordres, allant jusqu’à dépasser, et fortement, la valeur 2 à partir de l’ordre 6, ce qui est un non-sens pour un réseau planimétrique (fig. 14). Elle ne paraît pas appropriée pour caractériser la structure de ce type de réseau (directed network) dont le caractère non autosimilaire a été souligné (Dodds, 2000, p. 129).

  • L’estimation par le comptage de boîtes ne réserve, en revanche, pas de mauvaise surprise : DB augmente régulièrement et, globalement, l’incertitude se réduit du niveau 4 au niveau 7 (fig. 14). Pour les niveaux 5, 6, 7, en termes d’incertitude, l’estimation est donnée à moins de 3 % (à moins de 1 % pour le niveau 7, ce qui peut s’expliquer par la forte ramification du réseau, soit un grand nombre d’arcs pour un niveau hiérarchique relativement faible).

  • Avec l’élévation du niveau hiérarchique, DB semble se rapprocher de 2 et non de la valeur 1,5 provenant de la littérature (Dodds et Rothman, 1999). Pour DB, atteindre 1,8 – voire se rapprocher très près de 2 – serait cohérent avec la géométrie du réseau : il est construit à partir d’une grille régulière dont tous les points appartiennent au réseau. Pour un espacement entre les points de plus en plus petit relativement à son diamètre, le réseau remplit de plus en plus l’espace.

Figure 14 : Estimation de la dimension fractale par comptage de boîtes et par les rapports de Horton-Strahler, avec l’intervalle de confiance associé

Figure 14 : Estimation de la dimension fractale par comptage de boîtes et par les rapports de Horton-Strahler, avec l’intervalle de confiance associé

Réseau 4 : aléatoire de Scheidegger. 50 réalisations par ordre

  • Les estimations de la dimension de corrélation confirment que de fortes valeurs (supérieures à 1,7) peuvent être obtenues pour ce type de réseau à partir de l’ordre 5, et avec une incertitude modérée qui va en se réduisant avec l’ordre hiérarchique du réseau (tableau 1).

59Au total on peut induire de ces expériences numériques que la dimension de boîtes autant que la dimension de corrélation tendrait vers 2, pour des réseaux d’ordre de plus en plus grand. Or on sait que la dimension de Hausdorff d’un réseau de Scheidegger « infini » vaut 2 (Fontes et al., 2004). Du fait des inégalités entre les dimensions théoriques présentées précédemment (à savoir la dimension de Hausdorff, la dimension de corrélation et la dimension de Kolmogorov avec DHDCDK dans le cas général), nous ne sommes pas surpris que DB et DC se rapprochent de 2 lorsque l’ordre considéré croît.

Tableau des estimateurs DC , DB , DH-S par type de réseau simulé et par niveau hiérarchique

60Le tableau 1 regroupe les valeurs de dimension fractale estimée pour les réseaux déterministes et les réseaux aléatoires simulés. Pour ces derniers on associe à chaque valeur de dimension un intervalle de confiance à 95 %, correspondant à (m-2σ, m+2σ) avec m la moyenne et σ l’écart-type obtenus sur les 100 (pour les réseaux binaires bruités) ou 50 (pour les réseaux de Scheidegger) tirages réalisés.

Tableau 1 : Estimations des dimensions fractales sur réseaux simulés. IC : Intervalle de confiance à 95 %. NC : non calculé. Entre crochets [ ] : non-sens

Types de réseaux

Nombre
d’itérations

Ordre

Dimension de corrélation

Dimension de boîtes

Dimension de Horton-Strahler

Dimension asymptotique

DC

IC

DB

IC

DHS

IC

Binaire parfait angle 90°

construction déterministe

1 par niveau

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

1,75
1,76
1,78
1,80
1,84
1,89
1,91
1,92
-NC-
-NC-
-NC-

[0,98]
1,55
1,69
1,78
1,83
1,85
1,86
1,91
1,94
1,95
1,96

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
dimension d’
autosimilarité

Binaire parfait angle 60°

construction déterministe

1 par niveau

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

1,23
1,40
1,43
1,42
1,42
1,42
1,42
1,42
-NC-
-NC-
-NC-

1,00
1,11
1,40
1,47
1,45
1,45
1,47
1,47
1,44
1,44
1,43

1,36
1,36
1,36
1,36
1,36
1,36
1,36
1,36
1,36
1,36
1,36

1,36
dimension d’
autosimilarité

Binaire 60° avec bruit sur les longueurs

100 par niveau

5
6
7
8
9
10

1,27
1,30
1,38
1,40
1,41
1,41

1,14-1,40
1,24-1,41
1,28-1,45
1,35-1,43
1,38-1,43
1,39-1,43

1,02
1,01
1,14
1,33
1,34
1,42

0,97-1,07
1,08–1,29
1,05-1,22
1,29-1,37
1,31-1,37
1,35–1,49

1,27
1,27
1,27
1,27
1,27
1,27

1,23–1,30
1,24–1,29
1,25–1,29
1,25–1,28
1,26–1,29
1,26–1,29

1,36
comparaison avec le réseau non bruité

Scheidegger

construction aléatoire

50 par niveau

3
4
5
6
7

1,66
1,70
1,76
1,74
1,77

1,51-1,73
1,64-1,85
1,67-1,87
1,67-1,81
1,73–1,79

[2,28]
1,68
1,77
1,78
1,85

1,60-2,96
1,50-1,86
1,73-1,81
1,73-1,83
1,85–1,86

1,71
1,87
[2,02]
[2,57]
[2,5]

1,12-2,30
1,17-2,57
1,44-2,60
1,90-3,24
[2,13-2,87]

2
dimension de Hausdorff

Application à un cas de réseau naturel

Estimation par comptage de boîtes pour un cas naturel « type »

  • 4 Cette courbure dans un diagramme bilogarithmique, qui n’est pas spécifique aux réseaux hydrographiq (...)

61L’application du comptage de boîtes à un réseau de talwegs réels présente des différences par rapport aux réseaux idéaux simulés. Lorsque l’on balaye une large gamme de valeurs de boîtes, on voit apparaître une nette courbure dans le graphique de la relation Log/Log (fig. 15)4.

Figure 15 : Résultat d’un comptage de boîtes réalisé sur réseau vectoriel – avec limites approximatives de différents domaines

Figure 15 : Résultat d’un comptage de boîtes réalisé sur réseau vectoriel – avec limites approximatives de différents domaines

EC correspond à une limite informative, la taille de cellule du MNT à partir duquel le réseau a été extrait.

62Un tel graphique peut être modélisé mathématiquement de plusieurs façons. Il a donné lieu à divers traitements dans la littérature, le plus répandu pour les réseaux hydrographiques étant de rechercher deux portions de droite ajustées à la courbe, l’une concernant les petites valeurs de boîtes, l’autre les grandes (Dodds et Rothman, 1999, fig. 7, p. 4874 ; Forriez et al., 2010, fig. 8, p. 107).

63Une autre approche est de considérer plusieurs domaines comme pour la figure jointe qui est représentative de réseaux naturels en mode vectoriel (Thommeret, 2012) ; approche que justifient aussi les introductions classiques des auteurs anglo-saxons des années quatre-vingt-dix décrivant comment des parties différentes de ces courbes traduisent le pavage, par des boîtes petites ou grandes, de tel ou tel sous-ensemble du réseau — en s’attachant souvent, il est vrai, à des réseaux naturels représentés sur des cartes topographiques (Tarboton et al., 1988 ; Rodriguez-Iturbe et Rinaldo, 1997 ; Dodds et Rothman, 1999).

64Sur la figure 15, dans des limites approximatives, ce sont quatre « domaines » que nous avons retenus. On retrouve, comme pour les réseaux simulés - i) du côté des plus petites tailles de boîtes (domaine 1), une pente qui tend vers 1, expression de la rectifiabilité de l’objet (fig. 7) dans les échelles de mesure fines, dont nous avons déjà donné une explication générale dans le paragraphe dévolu aux dimensions empiriques (cf. supra : les réseaux constitués de segments) ; - ii) en position centrale des points visuellement bien alignés, soit un domaine 3 considéré comme un domaine empirique de fractalité ; - iii) dans les grandes tailles de boîtes (domaine 4), une instabilité de la position des points, qui peut rendre problématique l’obtention d’une droite de régression significative, ce que nous aurons à vérifier. Il s’y ajoute - iv) peu apparent dans les réseaux simulés, un domaine de transition (domaine 2) entre les domaines 1 et 3, susceptible d’être scindé.

65Dans le domaine 1, la majorité des boîtes (de petite taille) ne recouvrent qu’un seul tronçon. Toutefois, un même tronçon peut être recouvert par plusieurs boîtes (de tailles variées mais restant petites). De nombreux auteurs y ont estimé (notamment pour les cas de réseaux non vectoriels) une valeur de dimension fractale : proche de 1,1, elle informerait sur la forme des tronçons individuels, sur la sinuosité du linéaire (Meakin et al., 1995, Dodds et Rothman, 1999). Dans le cas d’une représentation vectorielle, la recherche d’une telle dimension n’est pas pertinente puisqu’en deçà de la taille du segment unitaire les petites tailles de boîtes n’apportent plus d’information.

66Dans le domaine 3, les boîtes recouvrent des portions de différents tronçons. La variation du nombre de boîtes en fonction de la taille caractérise l’organisation du réseau en tant que structure arborescente. Parler de structure fractale du réseau n’aura un sens que si ce secteur de stabilité dans la relation Log-Log s’étend sur plusieurs ordres de grandeur. Pour Peckham (1995), plus le réseau est développé, ramifié et hiérarchisé, plus la stabilité est observable sur une large étendue. Une question essentielle est donc de déterminer les limites du secteur central et la qualité de la régression linéaire pour savoir s’il est légitime de l’identifier comme domaine empirique de fractalité.

67La transition entre les domaines est souvent progressive puisque le réseau réel n’est pas parfaitement homogène (il ne possède pas les mêmes caractéristiques de ramifications à tous les niveaux hiérarchiques). Pour certains (Tarboton et al., 1988), le passage du domaine 2 vers le 3 s’effectue lorsque pratiquement toutes les boîtes croisent un talweg à l’intérieur de l’espace réseau. Dodds et Rothman (1999) considèrent que ce point de passage correspond à la longueur moyenne des arcs d’ordre 1 ; ce que nos propres résultats sur la limite inférieure du domaine empirique de fractalité et la longueur moyenne des arcs d’ordre 1 n’ont que partiellement confirmé (cf. tab. 2 et tab. 3).

68Pour déterminer les limites du secteur central, une procédure automatique de détection peut être utilisée (comme pour les réseaux simulés). Cette procédure, décrite en annexe, recherche trois segments de droite qui minimisent la somme du carré des distances des points du nuage (Log εi, Log Ni) à ces segments ; ici ε taille de boîte et N nombre de boîtes. Ainsi, il sera possible de calculer une dimension de boîtes sur un domaine déterminé de manière objective et répétable. Ce qui autorisera les comparaisons entre dimensions. Afin de tenir compte spécifiquement du domaine de transition d’allure parabolique, des variantes sont possibles.

69En pratique, la gamme de tailles de boîtes qui nous paraît pertinente, et que nous avons utilisée pour l’estimation de la dimension fractale d’un réseau naturel, est comprise entre deux valeurs : une taille minimale de boîte correspondant pour des réseaux vectoriels extraits à partir de MNT à la limite informative, c’est-à-dire la taille de cellule du MNT (EC) ; et une taille maximale qui correspond au diamètre de l’objet, c’est-à-dire à la distance maximale entre deux points du réseau. Au-delà de ces valeurs, aucune information sur le réseau n’est ajoutée. C’est ensuite à l’intérieur de cette gamme de valeurs de taille de boîtes que nous recherchons les limites d’un domaine empirique de fractalité. On peut s’autoriser à utiliser une taille minimale plus petite ; cet élargissement n’apporte aucune information supplémentaire, mais peut faciliter les calculs d’ajustement.

Le cas du Moulin : comparaison des estimateurs DB et Dc

70Les différentes méthodes décrites sont appliquées au petit réseau du bassin Moulin (8 ha environ). Les caractéristiques géométriques des réseaux sont résumées tableau 2.

Tableau 2 : Caractéristiques des réseaux du bassin du Moulin pour les tailles de cellule 1 et 2 m

Nombre d’arcs

Longueur totale (m)

Ordre de Strahler du réseau

Nombre d’arcs d’ordre 1

Longueur moyenne des drains

d’ordre 1 (m)

Moulin 1 m

1661

11 385

6

837

7,3

Moulin 2 m

500

6 732

5

252

14,1

71Pour le calcul de DC, estimateur de la dimension de corrélation, on discrétise le réseau en points en prenant comme espacement entre les points la longueur du plus petit arc. Pour le réseau issu du MNT à 1 m de taille de cellule (i.e résolution), cela représente 9 854 points, et 2 901 points pour la taille de cellule 2 m. Pour DB, une centaine de tailles de boîtes a été considérée.

72L’estimation de la dimension fractale par les rapports de Horton, DHS, donne une valeur de 1,93 pour le réseau à 1 m et 1,95 pour le réseau à 2 m. Cependant ces valeurs ne peuvent être qu’indicatives en l’absence d’information sur l’homogénéité du réseau ou la distribution des longueurs individuelles des drains. L’estimation par comptage de boîtes, DB, et l’estimateur DC, fournissent les valeurs respectives de 1,70 et 1,81 pour le réseau extrait à 1 m, de 1,57 et 1,81 pour le réseau à 2 m (tableau 3). Les limites du domaine empirique de fractalité sont obtenues, dans les deux cas, par détection automatique des points de rupture selon la méthode citée précédemment pour les réseaux simulés et exposée en note annexe. Il en résulte un intervalle assez court (ce que l’on peut relativiser en considérant la petite taille des drains), assorti d’une excellente valeur de corrélation Log-Log : R2 proche de 1 (à savoir supérieur à 0, 9999) pour DC pour les réseaux à 1 m et 2 m ; R² égal ou supérieur à 0, 9997 pour DB. Notons qu’une très forte valeur du coefficient R2 lors de l’estimation de la dimension de corrélation a été soulignée par Thomas et al. (2008). Ici, les valeurs du R2, les p-valeurs des tests de Fisher effectués, et surtout les graphes des résidus en fonction des valeurs prédites, confirment l’hypothèse de linéarité en logarithme et donc le caractère fractal de ce réseau sur l’intervalle considéré (fig. 16 c).

Tableau 3 : Résultats de dimension de boîtes (DB) et dimension de corrélation (DC) pour les réseaux du Moulin à 1 m et 2 m de résolution (i.e. taille de cellule du MNT dont ils sont extraits)

DB

Intervalle

R2

DC

Intervalle

R2

Moulin 1 m

1,70

5,3 m – 44,3 m

0,9998

1,81

10,6 m – 32,4 m

1-

[0, 9999]

Moulin 2 m

1,57

8,7 m – 40,5 m

0,9997

1,81

15,3 m – 41,3 m

1-

[0, 9999]

Discussion

73Les réseaux hydrographiques sont des objets finis de la nature et représentés, la plupart du temps, en format vectoriel. La transposition des définitions et calculs de dimensions fractales d’objets mathématiques à des objets naturels nécessite des adaptations. À travers ce travail, nous rappelons qu’il existe de nombreuses dimensions fractales et plusieurs méthodes d’estimation. Les valeurs dites de dimension fractale ne sont donc pas uniques et leurs modes d’obtention doivent être précisés. Nous avons pu juger de leur sensibilité aux conditions de calcul, ce qui est en conformité avec les énoncés généraux selon lesquels la valeur d’un estimateur fractal est obtenue pour une famille de mesures donnée (gamme de valeurs de taille de boîtes ei pour l’estimateur DB, mesure sur l’espacement deux à deux des points choisis pour discrétiser le réseau pour l’estimateur DC).

74Nous avons présenté trois principaux estimateurs de dimension fractale : la dimension de boîtes, la dimension de corrélation et la dimension issue des rapports de Horton-Strahler. Les deux premiers reposent sur une approche géométrique de l’espace alors que l’estimateur basé sur les rapports de Horton-Strahler est directement lié à la structure arborescente du réseau.

75Pour mieux cerner l’effet des divers modes d’estimation et évaluer la robustesse des dimensions fractales, nous avons choisi d’explorer les valeurs obtenues sur des réseaux simulés. Les résultats montrent que les dimensions fractales tendent vers une valeur asymptotique lorsque le niveau de hiérarchisation des réseaux est élevé, ce qui implique un grand nombre de segments ou de points constitutifs du réseau. Il s’agit, certes, d’une confirmation, mais qui conduit, inversement, à considérer avec circonspection les résultats calculés sur de petits réseaux au nombre d’arcs ou de segments restreint.

76Pour les réseaux binaires parfaits ou quasi-parfaits, il faut un niveau de hiérarchisation élevé (ordre de Strahler d’au moins 8 ou nombre d’arcs de l’ordre de 28-1) pour approcher avec le comptage de boîtes la valeur de la dimension asymptotique (dimension théorique) correspondante. Ceci s’explique par le fait que ce type de réseau est peu ramifié (avec un rapport de confluence de 2, la plus petite valeur possible). Pour les grands réseaux, DC et DB donnent des résultats très proches. Avec l’estimateur de dimension de corrélation, on observe une plus faible variabilité des valeurs entre les différents niveaux de hiérarchisation. La dimension de corrélation reste efficace même lorsque les réseaux présentent un faible nombre d’arcs, contrairement à la dimension de boîtes qui ne semble pas adaptée lorsque le réseau est trop petit (en particulier, avec moins d’une centaine d’arcs).

77Pour les réseaux de Scheidegger, il a été possible de donner des informations en termes d’incertitude sur les valeurs. Les résultats à partir du comptage de boîtes se montrent alors satisfaisants avec une incertitude faible et des valeurs s’approchant de la dimension asymptotique dès le niveau hiérarchique correspondant à un ordre de Strahler du réseau de 5. Vers les grands ordres de Strahler (>5) la dimension de corrélation, comme on s’y attend dans un cadre asymptotique (paragraphe sur les dimensions théoriques et empiriques), donne des résultats inférieurs à ceux de la dimension de boîtes ; tout en leur restant proches. La robustesse des estimations (DC et DB) provient du fait que ces réseaux possèdent les caractéristiques inverses des arbres binaires : ils sont peu hiérarchisés (l’ordre des réseaux augmente peu rapidement) mais très ramifiés (le rapport de confluence est proche de 5).

78Dans le cas de réseaux réels, en mode vectoriel, nous nous sommes affrontés à deux types d’incertitude qui se cumulent : l’incertitude sur le calcul de la dimension lui-même et l’incertitude sur la détermination de l’intervalle empirique de fractalité. Il est important de noter que l’on obtient des valeurs numériques pouvant être très différentes en fonction de l’estimateur retenu. La dimension de corrélation serait à recommander pour des petits réseaux, la dimension de boîtes restant un bon moyen d’estimer la dimension fractale lorsque l’on a un nombre d’arcs suffisant. La dimension de Horton-Strahler ne devrait pas être utilisée sauf dans des cas très particuliers proches d’arbres parfaits.

79Pour le réseau du Moulin, le principal élément de débat porte sur l’étroitesse relative de l’intervalle de fractalité obtenu pour ce petit réseau naturel. Il nous faut nous interroger : peut-il être élargi afin que l’expression même de fractalité ou d’objet fractal soit plus acceptable ? À quel prix, avec quelle légitimité ?

80Pour déterminer le domaine empirique de fractalité, nous avons recherché un domaine qui répondait à tous les critères statistiques usuels pour valider une régression linéaire. Certes, si l’on s’était arrêté au résultat du test de Fisher, il eût été tout à fait possible de considérer toute la gamme de tailles utilisée pour le comptage des boîtes ; le test eût été accepté et, en plus, avec une très petite p-valeur. Mais pour valider une régression linéaire, on doit également prendre en compte le graphique des résidus en fonction des valeurs prédites. Dans le cadre classique du modèle linéaire, ce graphique doit exhiber un nuage de points centré et sans aucune forme particulière.

81Quand on rajoute au domaine empirique de fractalité obtenu une partie du domaine dit de transition, ce graphique montre un clair problème d’ajustement du modèle : la régression linéaire n’est pas légitime. De même, quand on rajoute au domaine empirique de fractalité obtenu le secteur d’instabilité, le graphe n’est pas du tout satisfaisant non plus ; le fait d’avoir très peu de boîtes considérées dans ce secteur crée un biais qui est préjudiciable à l’estimation car augmentant notablement la dispersion. On pourra se référer à l’exemple du Moulin à la résolution 1 m (i.e taille de cellule) et aux trois graphiques de diagnostic obtenus (fig. 16, a, b et c).

82En conséquence – même avec des valeurs de R² qui sont élevées dans les trois cas – pour une estimation de la dimension fractale la plus fiable possible, nous préférons nous restreindre à un domaine empirique de fractalité de faible longueur mais totalement légitime statistiquement. On a également remarqué que dans le secteur des petites tailles de boîtes uniquement (celui où la dimension est proche de 1), le même diagnostic amenait à la conclusion d’une linéarité non acceptable. C’est pourquoi nous n’avons retenu ici qu’une seule valeur de dimension fractale DB, valant pour un intervalle donné, valeur et intervalle qui ne sont pas mis en défaut par l’estimation de la dimension de corrélation DC.

Figure 16 : Diagnostic des résidus des régressions pour la dimension de boîtes du Moulin (à 1 m) pour trois cas

Figure 16 : Diagnostic des résidus des régressions pour la dimension de boîtes du Moulin (à 1 m) pour trois cas

a) le cas où l’on élargit le domaine de linéarité vers les petites tailles de boîtes donc vers le domaine de transition (soit de 2,5 m à 44,3 m) ;
b) le cas où l’on élargit le domaine de linéarité vers les grandes tailles de boîtes donc vers l’instabilité (soit de 5,3 m à 100 m) ;
c) le cas où l’on ne considère que le domaine de linéarité « légitime ». Les valeurs de R² ne variant que peu pour les trois cas présentés.

83L’intervalle obtenu étant court, le qualificatif de fractal, prefractal, ou fractal apparent, appliqué au réseau est affaire de point de vue. Même avec cet intervalle court, les résultats obtenus ne manquent pas d’intérêt si l’on se réfère à l’objet particulier de la recherche : un petit bassin de quelques hectares caractéristique d’un paysage de dissection aux ravines nombreuses et hiérarchisées – elles-mêmes de petites tailles – en terrain homogène. C’est la structure du paysage qui primait ici. Des travaux futurs s’attacheront à ces questions de limites de fractalité et de structures selon les échelles en considérant des réseaux plus amples et avec une densité d’information au moins équivalente (réseaux de ravines ou réseaux hydrographiques).

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Notes

1 Une loi d’échelle représente une relation générale entre diverses grandeurs sans dimension décrivant le système. Une telle loi n’est généralement possible que lorsqu’il existe une seule unité de longueur indépendante dans l’objet (Gouyet, 1992, p. 10). Dans le cas d’objets fractals hétérogènes et de processus particulièrement complexes (comme les tourbillons d’une rivière liés à la turbulence) la structuration scalaire n’est pas unique et le modèle utilisé est celui de la multifractalité, que nous ne retenons pas ici.

2 Selon cette classification, un drain sans tributaire est d’ordre 1 et un drain résultant de la confluence de deux drains d’ordre n prend l’ordre n+1. Ces drains ordonnés sont dits tronçons (stream segments). Leurs longueurs et leurs nombres sont censés respecter des règles de composition (quasi-constance des rapports du nombre de tronçons d’un ordre n à l’ordre n+1 et des rapports de longueur moyenne d’un ordre n à l’ordre n-1). Le niveau hiérarchique d’un réseau correspond à l’ordre le plus élevé de ses drains. Un rapport de confluence (Rc) et un rapport de longueur (RL) peuvent être attribués au réseau entier soit en calculant la moyenne des rapports successifs (de nombre et de longueur moyenne, respectivement), soit en utilisant une procédure de régression, ce que nous adoptons ici. Il s’agit respectivement de la régression du nombre Ni de tronçons (en échelle logarithmique) par les numéros d’ordre i et de la régression des longueurs moyennes Lmi (en échelle logarithmique) par les numéros d’ordre i (Chorley, 1969, p. 33-35). Cette procédure fournit directement les logarithmes de RC et de RL égaux respectivement à la valeur absolue de chacun des coefficients directeurs. Les valeurs de ces logarithmes sont directement utilisables pour l’estimation d’une dimension fractale empirique (fondée sur les rapports de Horton-Strahler) d’un réseau considéré (cf. équation 4). Notons qu’il s’agit alors d’un réseau modélisé répondant aux « lois de Horton ».

3 On rappelle que pour les réseaux binaires parfaits, le niveau d’itération plus 1 correspond à un niveau de hiérarchisation (i.e. exprimé ici par l’ordre de Strahler). L’itération zéro correspond à l’arc le plus grand et le niveau croît avec des arcs de plus en plus petits.

4 Cette courbure dans un diagramme bilogarithmique, qui n’est pas spécifique aux réseaux hydrographiques, fut consignée en 1996 par l’Académie des Sciences : Distribution de type « fractal parabolique » dans la Nature, note de Jean Laherrère présentée par le Professeur Deheuvels, Comptes Rendus Académie des Sciences de Paris, t. 322, série II a, n 7, p. 535-541, 4 avril 1996. On retrouve cette courbure en sismologie, par exemple, dans la relation entre le nombre et l’énergie des séismes, même si modèle linéaire et modèle non linéaire restent concurrents (Pillet, 1997, Comptes Rendus Académie des Sciences de Paris, t. 324, série II a, 805-810 ; voir notamment fig. 2 et fig. 4).

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Table des illustrations

Titre Figure 1 : Trois représentations d’un réseau de talwegs et sémantique associée
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Titre Figure 2 : Les familles de réseaux
Légende a) Branche d’un réseau aléatoire de Scheidegger. b) Réseau binaire parfait (RL = √2, θ = 90°, niveau d’itération = 8). c) Réseau binaire avec bruit sur les longueurs (RL = 1,667, σ(Rl) = 0,05, θ = 60°, niveau d’itération = 6)
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Titre Figure 3 : Réseaux de Scheidegger : grilles de points et orientations du linéaire
Légende a) Grille de points choisie par Scheidegger pour simuler un réseau aléatoire se développant dans une bande contenue par deux droites parallèles (d’après Scheidegger, 1967, « A stochastic model for drainage patterns into an intramontane trench »).b) Différentes grilles utilisées pour générer un réseau de Scheidegger (d’après de Vries et Eckardt, 1997) : (1) triangulaire, (2) carrée, (3) carrée étendue aux diagonales. Cas 1, le réseau ne fait apparaître que deux orientations du linéaire (grosso modo NNE-SSW et NNW-SSE, en supposant le haut dirigé vers le nord). Cas 2, deux orientations. Cas 3, quatre orientations ; si le drainage n’admet aucune orientation selon la ligne de pente nulle alors il ne reste que trois orientations. Les réseaux de Scheidegger que nous avons simulés correspondent à cette configuration avec trois orientations (N-S, NE-SW, NW-SE).
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Titre Figure 4 : Réseau du Moulin extrait à partir d’un MNT raster à 1 m
Légende Représentation vectorielle (bassins expérimentaux de Draix, système de coordonnées Lambert 3)
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Titre Figure 5 : Premières itérations pour la construction de la courbe de von Koch ; la courbe fractale correspond à la limite atteinte lorsque le nombre d’itérations tend vers l’infini
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Titre Figure 6 : Principe du calcul de la dimension fractale par comptage de boîtes (inspiré de Gouyet, 1992)
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Titre Figure 7 : Rectifiabilité des réseaux vectoriels
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Titre Figure 8 : Détermination du domaine à considérer pour l’estimation de la dimension fractale par comptage de boîtes – exemple du réseau de Scheidegger
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Titre Figure 9 : Décalage vertical des résultats de comptage de boîtes pour quatre sous-parties d’un réseau simulé (réseau de Scheidegger)
Légende Les limites supérieures indiquées sont approximatives. Le réseau 4 est le plus petit sous-ensemble, ici d’ordre de Strahler 5. Toutes les branches se réunissent implicitement dans un drain unique à l’aval.
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Titre Figure 10 : Décalage horizontal des résultats de comptage de boîtes par extension d’un réseau de Scheidegger (extension du domaine et de la taille des cellules)
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Titre Figure 11 : Effet de la rotation du réseau sur le comptage de boîtes (réseau de Scheidegger)
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Titre Figure 12 : Évaluation des dimensions fractales estimées par comptage de boîtes pour différents niveaux hiérarchiques
Légende À gauche, réseau 1 : binaire parfait RC =2, RL = √2, θ = 90° ; à droite, réseau 2 : binaire parfait RC =2, RL = 1,67, θ = 60°.
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Titre Figure 13 : Évaluation de la dimension fractale estimée par comptage de boîtes et par les rapports de Horton pour différents niveaux hiérarchiques
Légende Réseau 3 : binaire bruité RC =2, RL = 1,67, σ(RL) =0,05, θ =60°, 100 réalisations par niveau hiérarchique
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Titre Figure 14 : Estimation de la dimension fractale par comptage de boîtes et par les rapports de Horton-Strahler, avec l’intervalle de confiance associé
Crédits Réseau 4 : aléatoire de Scheidegger. 50 réalisations par ordre
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Titre Figure 15 : Résultat d’un comptage de boîtes réalisé sur réseau vectoriel – avec limites approximatives de différents domaines
Légende EC correspond à une limite informative, la taille de cellule du MNT à partir duquel le réseau a été extrait.
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Titre Figure 16 : Diagnostic des résidus des régressions pour la dimension de boîtes du Moulin (à 1 m) pour trois cas
Légende a) le cas où l’on élargit le domaine de linéarité vers les petites tailles de boîtes donc vers le domaine de transition (soit de 2,5 m à 44,3 m) ;b) le cas où l’on élargit le domaine de linéarité vers les grandes tailles de boîtes donc vers l’instabilité (soit de 5,3 m à 100 m) ;c) le cas où l’on ne considère que le domaine de linéarité « légitime ». Les valeurs de R² ne variant que peu pour les trois cas présentés.
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Pour citer cet article

Référence électronique

Nathalie Thommeret, Jean-Stéphane Bailly, Jean-Marc Bardet, Brigitte Kaiser et Christian Puech, « Dimensions fractales de réseaux vectoriels : méthodes d’estimation et robustesse des résultats », Cybergeo : European Journal of Geography [En ligne], Systèmes, Modélisation, Géostatistiques, document 688, mis en ligne le 18 août 2014, consulté le 23 mars 2017. URL : http://cybergeo.revues.org/26440 ; DOI : 10.4000/cybergeo.26440

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Auteurs

Nathalie Thommeret

Post-doctorante, Laboratoire de Géographie Physique UMR 8591, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne – CNRS
nathalie.thommeret@lgp.cnrs.fr

Jean-Stéphane Bailly

ICPEF, AgroParisTech, UMR LISAH & UMR TETIS
bailly@agroparistech.fr

Jean-Marc Bardet

Professeur, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, Laboratoire SAMM
jean-marc.bardet@univ-paris1.fr

Brigitte Kaiser

Professeur émérite, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, Laboratoire de Géographie Physique UMR 8591
kaiserb@cnrs-bellevue.fr

Christian Puech

Chercheur émérite, Irstea, UMR TETIS
puech@teledetection.fr

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Droits d’auteur

© CNRS-UMR Géographie-cités 8504

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