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2002
224

Maximiser la représentativité de groupes dans un échantillonnage spatial

Maximising group representativeness in a spatial sampling

Estelle Kah et Michel Pruvot

Résumés

Le problème crucial de la représentativité d’un échantillon dans la réalisation d’une enquête est envisagé ici sous l’angle de la recherche des meilleures chances d’éviter d’obtenir des tirages proches des frontières d’autres groupes. À l’aide d’un exemple d’échantillonnage spatial de communes dans des sous-régions d’un département, on propose, dans un ensemble de démarches conjuguées, un exemple de pratique sur tableur, et les formules pour pondérer le tirage aléatoire.

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Notes de l’auteur

Nous proposons une illustration de l’utilisation de cette méthode dans le cas d’une enquête de terrain réalisée dans le département du Bas-Rhin auprès de N individus (180 dans notre exemple). L’objectif était d’échantillonner des ménages afin de pouvoir étudier les différences d’attitudes et de comportements vis-à-vis des déchets ménagers. Ce département comptant 522 communes, comment échantillonner ces N personnes de façon à ce qu’elles soient représentatives de la diversité géographique du département  ?

Ensuite, l’enquêter auprès des ménages impliquait d’abord d’échantillonner ces ménages, de telle façon qu’ils soient représentatifs de la variété du milieu géographique étudié. Ces ménages vivent dans un espace géographique d’une certaine diversité, et nous pouvons supposer qu’ils n’ont pas les mêmes comportements, attitudes et intentions vis-à-vis de ce problème, selon les ensembles de communes auxquelles ils appartiennent. Il s'agissait donc de différencier les réactions des ménages dans cet espace géographique.

La première étape de la démarche (figure 1) consistait donc à reconnaître les régions à prendre en compte dans la zone d’étude. Mais, avant de pouvoir échantillonner la population selon des critères géographiques qui correspondent au problème des déchets ménagers, il convenait de caractériser la population résidente. Ce sont donc les ménages à leur lieu de résidence qui étaient concernés, puisque c’est le lieu où ils produisent quotidiennement leurs déchets.

Texte intégral

1Parmi toutes les contraintes d’échantillonnage auxquelles peut être confronté un géographe, celle de constituer des échantillons représentatifs de régions, territoires ou toute autre forme de groupements spatiaux, nécessite de faire appel à des techniques originales. Celle que nous proposons ici, permet de sélectionner des unités spatiales de base (communes, quartiers, îlots, etc.) de chaque groupe (ou "région") issu d’une classification, en assurant la meilleure représentation de ces groupes. Un exemple ayant nécessité cette maximisation nous servira à illustrer notre propos, à rappeler les procédures intermédiaires déjà connues, à effectuer les opérations, et enfin à établir la formule et ses variantes.

2La technique classique consiste à tirer au hasard un élément (ou plusieurs) du groupe en attribuant à chaque élément du groupe un numéro d’ordre dans ce groupe. À partir d’une table de nombres au hasard, ou à partir de la génération d’un nombre au hasard par une fonction informatique, on tire un nombre qui indiquera le numéro de l’élément à retenir. Chaque élément a une probabilité identique d’être retenu, ce qui ne permet pas d’assurer une représentativité optimisée des groupes, car, on le voit tout de suite, une limite de cette procédure réside dans le fait que l’on peut tirer dans deux groupes voisins deux entités proches de la "frontière" commune des deux groupes et qui seraient ainsi très "semblables" et représenteraient médiocrement leurs groupes respectifs. C’est ici très clair, les frontières entre groupes n’étant pas tranchées et pas toujours stables lorsqu’on fait varier les paramètres des analyses ou des classifications.

3L’idée est donc ici de favoriser un tirage (toujours aléatoire) d’entités plus représentatives de leur groupe, à l’aide d’une pondération. C’est une manière de réduire la probabilité de tirer des entités trop proches des frontières avec d’autres groupes.

4La procédure mise en œuvre est de calculer, d’abord, la distance au carré de chaque entité au centre de gravité de chaque groupe. Pour chaque entité, on somme ces carrés de distances à chaque centre de groupe, sauf au sien propre, et on pondère la probabilité de la tirer par cette somme. Puis, au lieu de donner à chaque entité un nombre la représentant en vue du tirage, on lui en donne une série proportionnelle à son éloignement des autres groupes  : on a pondéré sa probabilité de tirage aléatoire. Ainsi, au lieu d’une situation où chaque entité (communes, quartiers, îlots, etc.) avait la même probabilité d’être tirée, plus cette entité sera éloignée des autres groupes et plus elle aura de chances désormais d’être tirée.

5Dans le cadre d’une enquête de terrain, c’est une opération en deux étapes qui a justifié le développement de cette méthode puisqu’il s’agissait de procéder à un échantillonnage de personnes à l’intérieur d’un échantillon de communes.

6Caractériser et découper en groupes les entités (telles les communes, quartiers, îlots, etc.) au moyen de quelques dimensions fondamentales, les géographes savent le faire, au moyen de l’analyse factorielle. La démarche est devenue classique. Cette analyse est nécessaire avant de réaliser une classification, puisque au-delà des questions d’interprétation, il s’agit d’éliminer les redondances  : quand des variables sont très corrélées, leur utilisation dans une classification engendre des pondérations indésirables de certains critères par rapport à d’autres ; l’indépendance des quelques facteurs retenus assure un poids égal à chaque dimension. D’autre part, comme il est souhaitable de pouvoir interpréter ces facteurs, il est nécessaire de compléter le modèle d’analyse en composantes principales par une rotation vers une structure simple, au sens de Thurstone, au moyen d’une procédure comme Varimax par exemple, même si cela ne change pas les résultats de la classification qui suivra. La classification, rappelons-le se fera sur les scores factorisés (standardisés) de cette analyse. Si on part de m variables, pour retenir p facteurs (p<m), on réalisera la classification dans cet espace (mathématique) à p dimensions. Si notre exemple a été soumis à une classification hiérarchique ascendante, utilisant l’algorithme de Ward, il faut bien préciser que la démarche peut être réalisée avec n’importe quelle méthode de classification parmi celles qui sont adaptées au type de données, à la condition de pouvoir disposer d’un (rare) programme de classification avec contiguïtés, ou de pouvoir l’écrire.

7Toute cette procédure fait partie d’un bagage technique désormais bien connu d’un géographe bien formé. Quant à ce type d’application, elle ressort, pour les aspects intra-urbains, de l’écologie factorielle urbaine. L’application à d’autres espaces ne répond pas à la même théorie, ni à la même réflexion sur les variables et les facteurs, mais la réalisation technique répond au même besoin, avec des enjeux de typologie équivalents.

Dans le cas d’une insuffisance de la classification ordinaire  : passage à une "régionalisation"

8Ces opérations "classiques" aboutissent à une typologie. Lorsque la recherche entreprise nécessite une représentativité régionale, le problème n’est pas d’obtenir une simple typologie des communes, mais une forme de "régionalisation", c’est-à-dire de reconnaître des territoires en continuité géographique. Pour les obtenir, il convient d’ajouter à la classification définie plus haut, une contrainte de contiguïté  : celle-ci peut être adaptée à tous les types de classification et consiste simplement, à chaque étape de la classification, à ne rassembler deux individus ou groupes que si un élément de chaque groupe au moins est en contiguïté. La principale contrainte pratique de la méthode est donc la constitution de la matrice de ces contiguïtés…

9Le nombre de groupes, comme précédemment le nombre de facteurs, est à l’appréciation du chercheur, mais si le nombre de facteurs s’impose du fait de leur interprétabilité ou non- interprétabilité, le nombre de groupes répond à de tout autres considérations. Que ce soit dans une typologie ou dans une régionalisation le nombre de groupes ressort d’une réflexion géographique et d’une connaissance du terrain.

Figure 1  : les différentes phases de la typologie

L’exemple du Bas-Rhin

10Dans notre exemple retenu pour illustrer la méthode proposée, 4 facteurs ont été reconnus pour les 44 variables (Tableau 1) soumises à l’analyse en composantes principales avec rotation Varimax ; leur signification est schématiquement résumée au tableau 3. La classification hiérarchique ascendante sur les scores des 4 facteurs, a été réalisée avec le critère de Ward (maximum de variance intergroupe) et la contrainte de contiguïté. 6 groupes régionalisés (du fait de la contrainte de contiguïté) ont été retenus. La carte 1 présente la régionalisation de ces communes du Bas-Rhin en six zones. La zone 1 comprend 211 communes, la seconde 44, la troisième 99, la quatrième 36, la cinquième 40 et la dernière 76. L’agglomération de Strasbourg était exclue de cette analyse ; elle faisait partie d’une étude séparée, pour diverses raisons  : la nature des entités, les densités, et surtout, dans l’espace urbain, l’hétérogénéité, les ruptures, les différences d’échelles, etc., supposent une typologie et non pas une régionalisation, comme le montrent toutes les recherches en écologie factorielle urbaine.

Variables

Facteur 1

Facteur 2

Facteur 3

Facteur 4

Communautés

1

% propriétaires

-0,852

0,199

0,252

0,004

0,829

2

% Imm d'1 logt

-0,814

0,176

0,212

0,115

0,751

3

% maisons individ

-0,550

0,489

-0,325

-0,156

0,671

4

% de + de 60 ans

-0,023

-0,787

0,171

0,348

0,770

5

% Ménages 1 pers

0,398

-0,645

-0,239

0,208

0,675

6

% retraités

-0,010

-0,644

0,213

0,170

0,489

7

%Résidences Secondaires

0,018

-0,643

-0,041

0,124

0,431

8

% Ménages 2 pers

0,123

-0,639

-0,350

-0,128

0,562

9

% salariés ds actifs

0,018

0,118

-0,725

-0,096

0,548

10

% logt de 4 pièces

0,214

-0,103

-0,548

0,125

0,372

11

% ouvriers

-0,085

0,029

-0,505

0,689

0,738

12

% logt de 3 pièces

0,449

-0,347

-0,500

0,145

0,593

13

Revenu net imposable

0,034

0,211

-0,168

-0,757

0,647

14

% cadres

0,077

0,028

-0,001

-0,707

0,506

15

% profess. interm.

-0,061

0,045

-0,036

-0,586

0,350

16

% logt 1968-74

-0,006

-0,034

-0,174

-0,545

0,328

17

Prop. femmes ds actifs

0,041

0,016

0,326

-0,498

0,357

18

% logt 1975-81

-0,089

0,373

-0,003

-0,411

0,316

19

% employés

0,204

0,010

0,111

-0,404

0,217

20

Densité

0,361

0,231

-0,277

-0,377

0,403

21

% logt de 5 pièces

-0,369

0,313

-0,206

-0,316

0,377

22

% logt après 1982

-0,078

0,484

0,094

-0,306

0,342

23

% logt de 1 pièce

0,487

-0,108

-0,037

0,015

0,251

24

% de chômeurs

0,204

-0,239

-0,197

0,162

0,164

25

% logt 1949-67

0,216

0,063

-0,440

0,177

0,276

26

% logés gratuit.

0,035

-0,311

-0,015

0,332

0,209

27

% Ménages 6 pers

-0,003

0,480

0,482

0,344

0,580

28

% logt avant 1915

-0,117

-0,380

0,384

0,405

0,469

29

% log ss bn, dch

-0,107

-0,085

0,108

0,554

0,337

30

Nb moy de pièces / logt

-0,480

0,196

0,660

-0,059

0,708

31

% logt de 6 pièces ou +

-0,360

0,116

0,720

0,012

0,662

32

% agriculteurs expl.

-0,083

0,028

0,777

0,212

0,656

33

% de fermes

-0,107

0,150

0,780

0,137

0,662

34

% Ménages 5 pers

-0,231

0,541

0,297

0,219

0,482

35

% Ménages 4 pers

-0,335

0,549

0,195

-0,257

0,517

36

% de - de 20 ans

0,039

0,705

0,044

-0,049

0,503

37

Nb moy de pers. / pièce

0,180

0,708

-0,151

0,194

0,594

38

Nb moy de pers. / logt

-0,286

0,786

0,459

0,096

0,920

39

% d'étrangers hors CEE

0,626

0,185

-0,183

0,029

0,460

40

% Imm de 3 à 4 logts

0,663

-0,224

-0,135

-0,129

0,524

41

% d'étrangers de la CEE

0,681

0,141

-0,098

0,032

0,494

42

% Imm de 10 logts et +

0,716

-0,043

-0,036

-0,130

0,532

43

% Imm de 5 à 9 logts

0,809

0,018

-0,146

-0,195

0,715

44

% locataires

0,863

-0,056

-0,253

-0,163

0,838

Variance du facteur

6,672

6,249

5,409

4,499

% de variance expliquée

15,160

14,200

12,290

10,230

Variance cumulée

15,160

29,360

41,650

51,880

11Tableau 1  : saturations des variables du Bas-Rhin

Carte 1  : les 6 groupes régionalisés retenus

Échantillonnage pondéré

12L’étape suivante, c’est-à-dire l’échantillonnage pondéré, peut se réaliser sur un tableur et se résume en 5 phases. La première consiste à calculer la moyenne des groupes à partir des scores factoriels des 4 facteurs retenus (phase 1 du tableau 2). C’est à partir de ces moyennes qu’il est possible de calculer les distances au carré de chaque entité au barycentre de chaque groupe (phase 2 du tableau 2). La figure 2 permet de visualiser ces distances (en deux dimensions au lieu de quatre, pour pouvoir présenter le schéma) pour l’entité en cellule [J3] dans le tableau 2, par exemple.

Tableau 2  : les trois premières phases de la procédure (dans un tableur)

Tableau 2  : les trois premières phases de la procédure (dans un tableur)

Figure 2  : calcul des distances de chaque entité au centre de chaque groupe

13Une fois le calcul des distances au carré de chaque entité au centre de chaque groupe réalisé, la troisième phase consiste pour chaque entité, à sommer ces carrés de distances à chaque centre de groupe, sauf au sien propre (phase 3 du tableau 2).

14Il s’agit maintenant de pondérer ces distances avant de passer à la phase finale qui est le tirage des 6 communes. Cette quatrième phase consiste à porter au carré les sommes des distances de la phase 3. On arrondit aux entiers, tout simplement parce qu’il faut des nombres entiers pour le tirage aléatoire pondéré (phase 4 du tableau 3). Puis, on calcule la série de nombres pour le tirage, qui s’obtient par les pondérations cumulées. Cette pondération favorisera donc le tirage au hasard de communes les plus distantes possibles des autres groupes (c’est-à-dire des groupes auxquels elle n’appartient pas). Par exemple, la commune n° 1 n’a que 166 chances sur 219771 d’être tirée, pour une distance pondérée de 166, alors que la deuxième à 6377 chances sur 219771 d’être tirée (6543-166 = 6377) pour une distance pondérée de 6377.

Tableau 3  : les trois premières phases de la procédure

15Ces étapes permettent maintenant de passer à la phase finale, c’est-à-dire au tirage des communes. La formule "ALEA()" intégrée dans les tableurs facilite cette procédure. On génère donc un nombre compris entre 1 et 219771, selon la procédure classique pour tirer au hasard une commune du premier groupe et, on réitère l’opération pour les 5 autres groupes sans oublier de changer les limites de groupe (phase 5 du tableau 4).

16Si cette méthode paraît lourde à mettre en place, sa qualité garantit un excellent échantillonnage. Les 6 communes échantillonnées (tableau 4) pour nos enquêtes présentent des caractéristiques bien différenciées ; elles sont localisées sur la carte 2. Il est important de rappeler que si certaines de ces communes sont proches géographiquement des frontières des groupes (régions), elles ne le sont pas par les distances (mathématiques) aux centres de groupes.

Tableau 4  : les 6 communes échantillonnées

17Ce n’est certes pas l’objectif de cette présentation d’exemple que d’analyser les caractères détaillés des 6 communes retenues, mais elles sont de profils très différents, avec des combinaisons de scores bien différenciées.

Carte 2  : les 6 communes échantillonnées retenues

Carte 2  : les 6 communes échantillonnées retenues

ig

s = nombre de groupes (g = 1 à s)

g’ = le groupe auquel appartient l’entité

i = indice de l’individu dans le groupe g’

p = nombre de facteurs (j = 1 à p)

18On pourrait pondérer de façon plus ou moins accentuée en utilisant une autre puissance. Généralisons en écrivant  :

où k est un entier > 2.

19On peut aussi choisir une pondération moindre, soit la puissance 1 des distances  :

20ou encore en pondérant de façon double, en tenant compte de l’importance relative des différents groupes  :

21où  :

ng est le nombre d’entités de chaque groupe (gg’)

N est le nombre d’entités de tous les groupes.

22Enfin, on voit que cette pondération, destinée à maximiser les chances d’obtenir un tirage aléatoire représentatif des groupes, si elle a été conçue dans le cadre d’une enquête avec un problème de représentativité géographique, pourrait aisément être adaptée à des contraintes différentes. De même, la phase préliminaire correspondant à la constitution des groupes pourrait aussi bien être adaptée ou allégée, selon la problématique ou la stratégie de recherche. Le point essentiel, ici, reste la recherche d’une amélioration de la représentativité des groupes.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Estelle Kah et Michel Pruvot, « Maximiser la représentativité de groupes dans un échantillonnage spatial », Cybergeo : European Journal of Geography [En ligne], Systèmes, Modélisation, Géostatistiques, document 224, mis en ligne le 23 septembre 2002, consulté le 25 mars 2017. URL : http://cybergeo.revues.org/3721 ; DOI : 10.4000/cybergeo.3721

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Auteurs

Estelle Kah

kah@lorraine.u-strasbg.frDocteur en géographie (ATER)
Laboratoire "Image et Ville", faculté de Géographie - Université Louis Pasteur - Strasbourg

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Michel Pruvot

michel@lorraine.u-strasbg.frMaître de conférences
Laboratoire "Image et Ville", faculté de Géographie - Université Louis Pasteur - Strasbourg

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Droits d’auteur

© CNRS-UMR Géographie-cités 8504

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