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2007
370

Effets spatiaux et effets réseau dans l’évaluation d’indicateurs sur les nœuds d’un réseau d’infrastructure

Making allowances for spatial and network effects when assessing indicators on infrastructure network nodes

Jean-François Gleyze

Résumés

L’étude quantitative d’un réseau d’infrastructure en géographie conduit souvent à évaluer des indicateurs sur les nœuds et les tronçons de ce réseau. Pour ce faire, le réseau est modélisé par un graphe dont les sommets et les arêtes sont respectivement associés aux infrastructures nodales et linéaires du réseau. Ce graphe est alors étudié grâce à des outils de théorie des graphes, essentiellement fondés sur les caractéristiques des plus courts chemins.

Les indicateurs les plus classiques sont l’accessibilité (mesure de l’éloignement d’un sommet du graphe à l’ensemble de tous les autres sommets par résumé des longueurs de plus court chemin) et la centralité intermédiaire (mesure de la sollication d’un sommet ou d’une arête du graphe par comptage des plus courts chemins qui y transitent). De ce fait, les propriétés d’accessibilité et de centralité d’un sommet sont dictées par l’organisation des plus courts chemins sur le réseau et donc par la situation relative du sommet à l’intérieur de ce réseau.

Cela étant, la localisation spatiale des sommets prédispose ceux-ci à être accessibles et centraux avant même de considérer les potentialités relationnelles offertes par le réseau : un sommet situé au centre géographique (resp. en périphérie) de la zone d’emprise du réseau aura ainsi plus (resp. moins) de chances d’être accessible et central.

Sur la base de ce constat, il apparaît pertinent d’isoler les avantages procurés par le réseau pour rendre les sommets accessibles et centraux, indépendamment des facilités dont ceux-ci bénéficient compte-tenu de leur positionnement spatial a priori. Nous montrons alors qu’il est possible d’isoler les « effets réseau » et les « effets spatiaux » associés en comparant les plus courts chemins traditionnellement utilisés pour calculer ces indicateurs avec une classe de chemins optimaux appelés « chemins de Delaunay ».

Outre l’étude des indicateurs d’éloignement et de centralité, la méthode que nous proposons peut être généralisée à l’étude de tout indicateur (structurel ou non), pourvu que celui-ci soit calculé à partir des plus courts chemins sur le réseau. La mise en évidence des effets réseau ainsi obtenue offre alors un outil utile pour nuancer l’interprétation des indicateurs mesurés sur le réseau et pour comprendre in fine la contribution réelle du réseau dans les phénomènes décrits par ces indicateurs.

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Texte intégral

La réalité spatiale des réseaux d’infrastructures

Géographie et structures en réseaux

1L’étude des réseaux en géographie est un domaine très vaste, tant les structures en réseau existant sur le territoire sont nombreuses et variées : réseaux de transport, réseaux d’énergie, réseaux d’eau, réseaux d’individus, etc.

2Il y a en effet « réseau » dès lors qu’il existe des « échanges ou, plus généralement, de[s] mises en relation entre les différents acteurs [du territoire] » (Groupe Réseaux, 1987) :

    • 1  Traduit de l’anglais par nous

    par exemple en sociologie, « un réseau social est caractérisé par un (ou plusieurs) ensemble(s) fini(s) d’individus et la (ou les) relation(s) définie(s) sur celui-ci (ceux-ci)1» (Wasserman & Faust, 1994) ;

  • dans le domaine des transports, le réseau est défini avant tout par la structure sous-jacente organisant les échanges ou les relations sur le territoire ou sur la ville (Mathis et al., 2003) ;

  • etc.

3Dans tous les cas, l’accent est porté sur l’idée d’échanges entre des « acteurs » représentant des entités ou des lieux sur le territoire.

4S’agissant d’analyser des phénomènes se déroulant sur un réseau, la théorie des graphes offre des indicateurs quantitatifs sur les sommets et les arêtes du graphe représentatif de ce réseau, obtenu en modélisant les acteurs et les échanges par des sommets et des arêtes (cf. Figure 1). La plupart du temps, ces indicateurs sont construits à partir des caractéristiques des plus courts chemins observés entre les sommets du réseau, c’est-à-dire des chemins les plus courts en nombre d’arêtes.

La spécificité spatiale des réseaux en géographie

5Dans le domaine particulier de la géographie, la spatialité des phénomènes et des réseaux qui les sous-tendent introduit une dimension supplémentaire dans l’analyse, car le réseau n’est pas seulement une organisation réticulaire (i.e. des sommets reliés par des arêtes), mais également un objet géographique implanté sur le territoire.

6Cette implantation se concrétise en premier lieu par la localisation des acteurs ou des nœuds du réseau : par exemple le lieu de résidence ou de travail des individus d’un réseau social, la position sur le territoire des intersections, des échangeurs et des carrefours d’un réseau routier, etc.

7Dans le cas des réseaux d’infrastructure, l’implantation spatiale du réseau sur le territoire se traduit également par la réalité physique des infrastructures réalisant les échanges sur le réseau : il s’agit par exemple des canalisations d’un réseau technique urbain, des câbles d’un réseau de télécommunications ou encore, de manière plus éloquente, des voies d’un réseau de transport (cf. Figure 1).

Source : d’après Wasserman & Faust (1994) (encadré de gauche)

fond de carte Plan de Paris – Collection « L’indispensable » (encadré de droite)

Figure 1 : exemples de graphes – à gauche : graphe représentatif d’un réseau d’amis ; à droite : graphe représentatif de l’infrastructure routière du 11ème arrondissement parisien

8L’implantation spatiale des infrastructures se traduit elle-même par un coût de parcours des arêtes associées. En première approche, ce coût correspond à la longueur des tronçons, mais il peut être nuancé par des paramètres régissant les modes de mise en relation sur le réseau (ainsi, en fonction de la finalité de l’étude, le coût d’un tronçon routier pourra être exprimé comme le temps nécessaire pour le parcourir, compte-tenu de sa longueur et de la vitesse autorisée). Nous retiendrons que l’implantation spatiale des infrastructures linéaires et les coûts qui en résultent déterminent les modalités de parcours sur le réseau. Compte-tenu de celles-ci, les plus courts chemins sont établis en regard du coût total des tronçons parcourus pour mettre en relation les sommets origine et destination.

Prédispositions spatiales et apport d’un réseau d’infrastructure dans l’organisation du territoire – Effets spatiaux et effets réseau

9Dès lors, nous sommes en droit de nous demander dans quelle mesure un réseau spatialisé favorise la mise en relation des sommets, étant donné que ceux-ci sont plus ou moins bien localisés relativement les uns aux autres, indépendamment de l’organisation des arêtes du réseau.

10La Figure 2 pose visuellement cette question sur un problème simple d’accessibilité, en offrant de comparer le positionnement de deux sommets – l’un « central », l’autre « excentré » – au sein d’un même réseau.

Figure 2 : situations relatives de deux sommets au sein d’un même réseau (un sommet « central » à gauche vs un sommet « excentré » à droite)

11De prime abord, la simple observation de cette figure laisse supposer que le sommet rouge est mieux positionné au sein du réseau que le sommet vert. Cependant, d’un point de vue strictement spatial, le sommet rouge est avantagé a priori, car situé plus au centre de la zone sur lequel le réseau est implanté, ainsi que le présente la Figure 3.

Figure 3 : positionnement spatial relatif des deux sommets de la Figure 2

12En définitive, le sommet rouge est mieux positionné au sein du réseau, mais il est également mieux situé spatialement. Cette situation conduit de fait à une indétermination : il n’est pas possible dans ces conditions de décider lequel des deux sommets considérés est le plus avantagé par sa seule position au sein du réseau.

13De fait, il existe deux facteurs intervenant dans l’accessibilité d’un sommet au sein d’un réseau spatialisé :

  • son positionnement spatial relativement à l’ensemble des autres sommets (nous parlerons d’« effets spatiaux »),

  • la manière dont l’organisation du réseau contribue effectivement à mettre en relation ce sommet avec l’ensemble des autres sommets compte-tenu de ce positionnement (nous parlerons d’« effets réseau »).

Problématique

14Dans ce contexte, notre objectif est de proposer une méthode permettant de distinguer les effets spatiaux des effets réseau, c’est-à-dire in fine d’évaluer la contribution nette du réseau à la mise en relation des sommets (effets réseau), toutes choses égales par ailleurs quant au positionnement spatial de ces sommets (effets spatiaux).

15Pour ce faire, nous présenterons dans une première partie la modélisation des réseaux d’infrastructures par des graphes et la forme générique des indicateurs fournis par la théorie des graphes à partir des plus courts chemins pour l’évaluation quantitative de phénomènes sur ces réseaux.

16S’agissant d’isoler les effets spatiaux et les effets réseau, nous montrerons dans une deuxième partie qu’il est possible d’apprécier la contribution spatiale de ces indicateurs en envisageant la mise en relation des lieux selon des trajectoires particulières appelées « chemins de Delaunay ». En pratique, nous mettrons en œuvre cette méthode pour l’étude de l’éloignement moyen et de la centralité intermédiaire sur les sommets d’un réseau routier urbain, et nous verrons à cette occasion que les informations obtenues permettent de dépasser les analyses fondées sur l’interprétation des valeurs brutes de ces indicateurs.

17Dans une dernière partie, nous montrerons qu’il est possible de généraliser cette méthode en l’appliquant d’une part à tout indicateur (structurel ou non) – pourvu qu’il soit fondé sur les caractéristiques des plus courts chemins entre sommets du réseau, et en l’intégrant d’autre part à une étude plus globale exigeant de comparer un même indicateur sur la configuration évolutive d’un réseau.

La modélisation et l’évaluation des réseaux

La modélisation des réseaux d’infrastructures par des graphes géoréférencés et valués

18On considère un réseau d’infrastructure servant de support à des acheminements ou à des déplacements physiques (classiquement, un réseau de transport). La théorie des graphes permet de modéliser ce réseau par un graphe G, dont les sommets et les arêtes représentent respectivement les infrastructures nodales et les infrastructures linéaires de ce réseau. L’implantation spatiale du réseau sur le territoire est traduite par le géoréférencement des sommets et par la valuation des arêtes.

19Pour illustrer la suite de notre travail, nous avons choisi comme exemple d’étude le réseau routier de la ville d’Indianapolis en 1954 (réseau extrait de l’étude d’accessibilité effectuée par Muraco (1972) – cf. Figure 4). Ce réseau est composé de 89 sommets et de 93 arêtes. Par ailleurs, nous avons pris en compte l’implantation spatiale des infrastructures :

  • en géoréférençant les sommets conformément à la géométrie et à l’échelle du réseau ;

  • et en valuant les arêtes par leur longueur (ce choix n’exclut pas de travailler avec d’autres systèmes de valuation – dans le cas présent, le choix de valuer par les longueurs n’a pas d’incidence sur les développements ultérieurs de notre étude).

Source : d’après Muraco (1972)

Figure 4 : graphe représentatif du réseau routier de la ville d’Indianapolis en 1954

L’évaluation des réseaux par des indicateurs opérant à différentes échelles – Les indicateurs d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire

20L’ensemble des informations topologiques, géométriques et métriques définissent la structure du réseau. À partir de ces informations, il est maintenant possible de calculer des indicateurs pour évaluer les propriétés structurelles du réseau. La géographie quantitative, en s’appuyant sur la formalisation de la théorie des graphes, fournit à ce titre un cadre approprié pour l’élaboration et le calcul de tels indicateurs (Béguin & Thomas, 1997) (Mathis et al., 2003).

21Nous n’utiliserons pas ici les indicateurs globaux (indices de Kansky α, β et γ, nombre cyclomatique μ, etc.), car leur portée reste limitée : en l’occurrence, l’information traduite par ces indicateurs ne prend en compte que les propriétés topologiques du graphe, et elle n’est pas observable à l’échelle des sommets et des arêtes du graphe (pour plus d’informations sur ces indicateurs, nous renvoyons le lecteur aux travaux de Berge (1973) pour une approche théorique, et aux travaux de Dancoisne (1984) pour une approche applicative).

22A contrario, les indicateurs locaux sont observables à différentes échelles par agrégations successives. Étant construits à partir d’informations sur les plus courts chemins entre les sommets du graphe, ils intègrent l’ensemble des propriétés topologiques, géométriques et métriques du graphe.

23Nous avons formalisé l’expression de tels indicateurs à l’occasion de notre travail sur la vulnérabilité structurelle des réseaux (Gleyze, 2005). Selon ce cadre formel, tout indicateur I mesurable sur une relation i → j peut être agrégé et fournir en sortie une valeur de I représentative de la collection de relations sur laquelle est effectuée l’agrégation.

24Ainsi :

  • si l’information I(i j) est l’éloignement du sommet i au sommet j (i.e. la longueur de plus court chemin de i à j), l’éloignement moyen au niveau du sommet i est obtenu en moyennant les éloignements I(i j) à destination de tous les autres sommets j du graphe ;

  • si l’information I(i j) est une indicatrice valant 1 pour les sommets traversés par le(s) plus court(s) chemin(s) réalisant la relation i j et 0 pour les autres sommets, la centralité du sommet k est obtenue en sommant les contributions I(i j) au niveau de ce sommet pour l’ensemble des relations i j observées sur le graphe.

  • 2  Les centralités intermédiaires sont exprimées au prorata du nombre de plus courts chemins transita (...)

25Ces deux exemples correspondent aux indices d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire fréquemment employés dans les études de géographie quantitative (voir par exemple (Pumain & Saint-Julien, 1997), (Cattan & Grasland, 1997), (Bruinsma & Rietveld, 1998)) et de sociologie (cf. (Freeman, 1979), (Wasserman & Faust, 1994)). Nous les avons calculés sur les sommets du graphe routier d’Indianapolis (cf. Figure 4) et nous avons cartographié les résultats2 sur la Figure 5.

Source : d’après Gleyze (2005)

Figure 5 : éloignement moyen et centralité intermédiaire des sommets du réseau routier d’Indianapolis de 1954

26Sur la carte des éloignements moyens, plus la valeur relevée est faible, plus le sommet est accessible depuis les autres sommets du graphe. Sur la carte des centralités intermédiaires, plus la valeur relevée est forte, plus le sommet est emprunté par les plus courts chemins réalisant l’ensemble des relations origine-destination sur le graphe.

27Les valeurs observées ici dégagent des tendances nettes : en l’occurrence, les sommets spatialement centraux affichent des valeurs faibles d’éloignement moyen et des valeurs fortes de centralité intermédiaire – et inversement pour les sommets spatialement périphériques. De fait, l’indétermination entre les effets spatiaux et les effets réseau évoquée plus haut est ici manifeste.

28En développant cet exemple d’étude, nous allons à présent montrer qu’il est possible d’isoler les effets spatiaux, et donc – par complémentarité – qu’il est possible d’évaluer l’apport net du réseau dans la mise en relation des sommets et dans les indicateurs qui en traduisent les propriétés.

Distinction des effets spatiaux et des effets réseau dans le calcul des indicateurs d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire

L’évaluation traditionnelle des effets spatiaux – Apports et limites de la comparaison des plus courts chemins et des chemins optimaux en ligne droite

29Tout indicateur calculé sur un réseau spatialisé intègre à la fois les effets spatiaux et les effets réseau induits par l’organisation des sommets et des arêtes sur le territoire. Notre objectif est ici d’extraire les effets réseau, c’est-à-dire la contribution nette du réseau dans les valeurs observées de l’indicateur compte-tenu des effets spatiaux – c’est-à-dire des potentialités induites a priori par le positionnement spatial des sommets.

  • 3  Eventuellement en ligne droite par morceaux si l’espace d’étude n’est pas convexe

30Les indicateurs que nous nous proposons d’étudier sont construits à partir des plus courts chemins observés sur le réseau. À l’échelle d’une relation entre deux sommets et des plus courts chemins qui lui sont associés, les potentialités induites par le positionnement spatial des sommets sont réalisées si le réseau relie de manière optimale ces deux sommets, c’est-à-dire selon l’infrastructure la plus courte ou la plus rapide que l’on puisse imaginer compte-tenu de ce que l’on peut attendre d’un tel réseau. Par construction, cette infrastructure est un tronçon direct en ligne droite3 sur lequel les modalités de parcours sont les meilleures possibles (cf. Figure 6).

Figure 6 : comparaison du plus court chemin entre deux sommets et du chemin optimal que l’on pourrait attendre d’un graphe optimisé pour cette relation, c’est-à-dire une liaison directe entre les deux sommets assortie des meilleures conditions de parcours

  • 4  Le tracé optimal d’une route entre deux sommets est la ligne droite. La longueur d’une telle route (...)

31Bien que non formulée en termes d’« effets spatiaux » et d’« effets réseau », cette formalisation des chemins optimaux a déjà fait l’objet d’études en géographie pour évaluer l’efficacité d’un réseau. À ce titre, Cattan & Grasland (1997) ou encore Chapelon (1997) appréhendent l’efficacité d’un réseau en comparant les longueurs de plus court chemin sur le réseau avec les longueurs de plus court chemin sur un réseau fictif d’autoroutes reliant de manière optimale tous les sommets du territoire deux à deux. En d’autres termes, la comparaison met aux prises la longueur de plus court chemin observé sur le réseau (combinaison des effets spatiaux et des effets réseau) avec son équivalent dans la situation optimale où le réseau offrirait de relier par autoroute tous les sommets du territoire selon leur liaison à vol d’oiseau, au coefficient de sinuosité près4 (potentialités des chemins optimaux découlant des seuls effets spatiaux).

32Sur la Figure 7, nous mettons en scène cette comparaison sur la liaison routière entre les villes de Tulle et Ussel.

Source : d’après Gleyze (2005)

fond de carte Carte 901 de l’IGN, édition 2003, Institut Géographique National

Figure 7 : comparaison de la liaison entre les villes de Tulle et Ussel (Corrèze) sur le réseau routier de 2003 et sur un réseau fictif optimal

33En envisageant une mise en relation optimale des villes de Tulle et d’Ussel, le temps de parcours observé est débarrassé des contraintes imposées par le réseau routier existant (la route n’est pas une autoroute, son tracé s’écarte de la ligne droite, etc.) et ne reflète finalement que les contraintes induites par la séparation spatiale des villes. Le temps de parcours en situation optimale (33 mn) représente donc les « effets spatiaux » associés au temps de parcours réel (51 mn) entre ces deux villes.

34En contrepartie, les « effets réseau » correspondent à la contribution nette du réseau dans la mise en relation des deux villes, et sont donc déterminés par la comparaison entre le temps réel (51 mn) et temps optimal (33 mn) que l’on pourrait attendre d’un tel réseau s’il exploitait au mieux la situation spatiale de ces deux villes.

35Traditionnellement, cette contribution est quantifiée en effectuant le ratio (indice de Marchand (1973)) ou la différence quadratique (indice de Kansky (1989)) entre ces deux distances-réseau. Pour autant, nous choisissons de ne pas retenir ces modes de comparaison, car :

  • les grandeurs obtenues perdent de leur sens physique : les unités dans lesquelles elles s’expriment n’ont plus un sens immédiat pour qui cherche à les interpréter ;

  • les opérations mathématiques sous-jacentes (inverse, puissance, etc.) ne sont pas linéaires et posent problème lorsque l’on souhaite effectuer des agrégations pour changer de niveau d’observation : par exemple, si l’on choisit d’agréger des comparaisons par ratio pour un ensemble de relations origine-destination données, doit-on effectuer le ratio de la moyenne ou la moyenne des ratios ?

36A contrario, la comparaison par différence conduit à travailler avec des expressions linéaires, interprétables dans leur contexte, et n’excluant pas des transformations mathématiques ultérieures pour extraire des informations agrégées.

37Pour ces raisons, nous choisissons de quantifier ces « effets réseau » en mesurant la différence entre distance-réseau réelle et distance-réseau optimale : ainsi, les effets réseau associés au temps de parcours entre les villes de Tulle et d’Ussel sont évalués par un différentiel de 18 mn.

38En généralisant cette méthode, les effets spatiaux associés à un indicateur observé sur un réseau donné peuvent être isolés en calculant cet indicateur sur le réseau qui relierait de manière optimale tous les sommets deux à deux. Par construction, les effets réseau peuvent à leur tour être isolés en soustrayant la valeur de l’indicateur calculée sur ce réseau optimal à celle observée sur le réseau d’étude :

indicateur observé sur le réseau d’étude

=

indicateur calculé sur le réseau optimal
[effets spatiaux]

+

résidu expliqué par la configuration du réseau [effets réseau]

39Comme nous venons de le voir, les effets spatiaux sont mesurables lorsque l’information relative aux plus courts chemins est la longueur de ceux-ci, et donc lorsqu’il s’agit de faire la part des effets spatiaux et des effets réseau dans le calcul de l’éloignement moyen des sommets d’un réseau (cf. Figure 8).

Figure 8 : comparaison des longueurs du plus court chemin et du chemin optimal présentés en Figure 6

40Tels que nous les avons définis, ces chemins optimaux ne permettent cependant pas de généraliser cette méthode lorsqu’il s’agit de calculer des indicateurs relatifs à la structure des plus courts chemins, c’est-à-dire relatifs aux caractéristiques de leur implantation sur l’infrastructure du réseau. Certes, ces chemins optimaux possèdent un attribut longueur comparable à celui des plus courts chemins, mais leurs structures respectives ne peuvent pas être comparées car les chemins optimaux sont construits sur une infrastructure imaginaire.

41En l’occurrence, le réseau optimal considéré implicitement pour isoler les effets spatiaux n’est assorti d’aucune structure sur laquelle « ancrer » le chemin optimal entre deux sommets. Ce point est particulièrement limitatif dans l’étude d’indicateurs structurels, et en particulier dans l’étude de l’indice de centralité intermédiaire, car celui-ci repose sur le comptage des plus courts chemins au niveau de chaque sommet du réseau. Dans le calcul de la centralité intermédiaire, comment en effet comparer les fréquences de passage des plus courts chemins et des chemins optimaux au niveau d’un sommet donné, dès lors que les chemins optimaux ne sont pas décrits par une succession d’arêtes et de sommets sur l’infrastructure du réseau ? (cf. Figure 9)

Figure 9 : problème soulevé par la comparaison des décompositions du plus court chemin et du chemin optimal présentés en Figure 6

42Dans ce contexte, l’étude des réseaux de transport – et plus généralement l’étude des réseaux territoriaux (réseaux d’énergie, réseaux de communication, réseaux techniques urbains, etc.) – ne peut faire abstraction de la dimension matérielle des infrastructures sous-jacentes et des chemins les empruntent. Afin d’évaluer les effets spatiaux et les effets réseau associés non seulement aux indicateurs attributaires (type éloignement moyen) mais également aux indicateurs structurels (type centralité intermédiaire) construits sur les plus courts chemins, il est donc nécessaire de pouvoir comparer les structures respectives des chemins optimaux et des plus courts chemins.

43À cet effet, nous proposons une méthode permettant d’« ancrer » les chemins optimaux sur les sommets définissant la structure du réseau d’étude, et in fine de décrire ces chemins par une liste ordonnée de sommets, comparable à la liste des sommets caractéristique des plus courts chemins.

La structuration des chemins optimaux sur les sommets d’emprise du réseau – La notion de « chemins de Delaunay »

  • 5  Les antennes-relais Z sont symbolisées par des points et leurs aires d’influence correspondent par (...)

44Pour ancrer physiquement la ligne droite réalisant le chemin optimal entre deux sommets, nous nous sommes référés à des études mathématiques formelles sur les télécommunications. Dans ce domaine, Baccelli et al. (1998) étudient notamment la répartition spatiale des antennes-relais sur un territoire et les sollicitations dont elles font l’objet lorsqu’un individu équipé d’un mobile se déplace sur ce territoire. Pour décrire la succession des antennes-relais successivement sollicitées, Baccelli et al. (1998) associent la trajectoire de l’individu aux antennes-relais se situant tour à tour au plus près de cette trajectoire (cf. Figure 105).

Source : (Baccelli et al., 1998)

Figure 10 : association de la trajectoire d’un individu aux semis des antennes-relais d’un réseau ponctuel

45Notre problématique rejoint ces préoccupations, dans la mesure où nous souhaitons ancrer « au mieux » une trajectoire en ligne droite sur un semis de sommets : de manière analogue aux travaux de Baccelli et al. (1998), nous proposons d’associer cette trajectoire aux sommets du semis se situant tour à tour au plus près de son tracé.

46En pratique, cette démarche revient à découper l’espace selon le diagramme de Voronoï construit sur le semis des sommets du réseau et à identifier les sommets dont les cellules de Voronoï sont traversées par la trajectoire en question. L’ancrage physique du chemin optimal correspond alors à la succession de sommets et d’arêtes de la triangulation de Delaunay ainsi parcourus de proche en proche. Le chemin qui en résulte s’inscrit par construction sur la triangulation de Delaunay du semis de sommets du réseau, aussi l’avons-nous appelé « chemin de Delaunay ».

47Nous illustrons en Figure 11 le principe de ce chemin sur un exemple simple. Pour plus de détails sur l’algorithme de construction des chemins de Delaunay, nous renvoyons le lecteur à nos travaux antérieurs (Gleyze, 2005).

Source : d’après Gleyze (2005)

Figure 11 : diagramme de Voronoï et triangulation de Delaunay associée sur un semis de sommets (encadré n°1) et construction du chemin de Delaunay entre deux sommets de ce semis (encadré n°2)

48Si nous reprenons l’exemple de la Figure 6, nous sommes en mesure d’identifier les sommets successivement rattachés au chemin optimal (cf. Figure 12).

Figure 12 : décomposition du chemin optimal présenté en Figure 6 par la succession des sommets formant le chemin de Delaunay associé

49Par comparaison avec la liste des sommets traversés par le plus court chemin sur le réseau d’étude (cf. Figure 9), il est maintenant possible d’évaluer dans quelle mesure les différents sommets du réseau sont sollicités pour relier une origine i à une destination j, indépendamment de leur répartition spatiale :

  • la contribution brute I(i→ j) de la relation i j à la centralité d’un sommet k vaut 1 si ce sommet est traversé par le(s) plus court(s) chemin(s) entre i et j sur le réseau d’étude, et 0 sinon ;

  • les effets spatiaux associés à cette contribution brute valent 1 si ce sommet est traversé par le chemin de Delaunay entre i et j, et 0 sinon ;

50les effets réseau correspondent alors à la contribution nette, c’est-à-dire à la différence entre la contribution brute et les effets spatiaux isolés grâce au chemin de Delaunay.

51Ainsi, sur l’exemple de la Figure 6, la relation origine-destination considérée contribue à la centralité des sommets, et cette contribution se distingue en termes d’effets réseau (cf. Figure 13) :

  • au niveau des deux sommets se situant sur le plus court chemin mais pas sur le chemin de Delaunay (sommets rouges, enregistrant un différentiel unitaire positif) : la relation origine-destination contribue à la centralité de ces sommets en dépit de ce que l’on attendrait compte-tenu de leur positionnement spatial ;

  • au niveau des deux sommets se situant sur le chemin de Delaunay mais pas sur le plus court chemin (sommets bleus, enregistrant un différentiel unitaire négatif) : la relation origine-destination ne contribue pas à la centralité de ces sommets malgré ce que leur positionnement spatial laisse présager a priori.

Figure 13 : contribution nette de la relation origine-destination à la centralité des sommets (effets réseau) – au facteur de pondération près (correspondant au poids attribué contextuellement à la relation), cette contribution vaut +1 pour les sommets surlignés en rouge, –1 pour les sommets surlignés en bleu et elle est nulle pour les autres sommets

52En ce sens, l’utilisation du chemin de Delaunay répond à l’objectif que nous nous sommes fixé intialement, c’est-à-dire ancrer physiquement le chemin optimal sur les sommets du graphe et isoler en conséquence les effets spatiaux intervenant dans le calcul des indicateurs structurels – en particulier dans le calcul de l’indice de centralité intermédiaire.

L’évaluation des effets spatiaux et des effets réseau associés à un indicateur par la comparaison des plus courts chemins et des chemins de Delaunay

53Afin d’offrir in fine un outil cohérent pour l’évaluation des effets spatiaux et des effets réseau dans le calcul des indicateurs sur les nœuds d’un réseau, nous proposons d’isoler les effets spatiaux grâce au chemin de Delaunay non seulement pour les indicateurs structurels (du type centralité intermédiaire), mais également pour les indicateurs non structurels (du type éloignement moyen). Ce choix présente l’avantage de rendre cohérent l’ensemble des calculs visant à distinguer les effets spatiaux et les effets réseaux de tous les indicateurs évalués sur les sommets d’un réseau à partir des informations structurelles et non structurelles relatives aux plus courts chemins.

54Dans le cas particulier du calcul des effets spatiaux associés à l’indice d’éloignement moyen, cela revient, pour chaque relation, à considérer l’éloignement entre les sommets origine et destination sur le chemin de Delaunay assorti des meilleures conditions de parcours (et non plus sur la liaison à vol d’oiseau ainsi que le suggèrent les études sur l’efficacité des réseaux). Mathématiquement parlant, ce point ne pose pas de problème dans la mesure où des travaux formels ont démontré que le ratio entre les longueurs des chemins de Delaunay et les distances à vol d’oiseau (initialement retenues pour isoler les effets spatiaux) se situe très majoritairement entre 1,05 et 1,09 (pour plus de détails sur l’étude de ce ratio, voir les travaux de Baccelli et al. (1998), Chew (1986) et Fernique (2003)).

55Nous disposons à présent d’une méthode pour la mise en évidence des effets spatiaux et des effets réseau dans le calcul d’un indicateur I construit traditionnellement à partir des plus courts chemins (qu’il soit structurel ou non). Ainsi que nous l’avons vu plus haut, tout indicateur I sur un sommet k est le résultat de l’agrégation de valeurs de I observées sur une collection de relations i j, aussi (cf. Tableau 1) :

  • à l’échelle d’une relation i j, les effets spatiaux associés à la valeur I(i j) de l’indicateur I sur le plus court chemin de i à j correspondent à la valeur I*(i j) de ce même indicateur sur le chemin de Delaunay de i à j => les effets réseau associés à I(i j) correspondent alors à la quantité I(i j) – I*(i j) ;

  • à l’échelle d’un sommet k, l’indicateur I(k) et la part associée I*(k) d’effets spatiaux s’obtiennent par agrégation des valeurs I(i j) et I*(i j) mesurées respectivement sur les plus courts chemins et sur les chemins de Delaunay des relations i→ j impliquées dans le calcul de I(k) =>les effets réseau associés à I(k) correspondent alors à la quantité I(k) – I*(k).

56

Tableau 1 : méthode de calcul des effets spatiaux et des effets réseau d’un indicateur I à l’échelle d’une relation et à l’échelle d’un sommet

Application à l’étude des indicateurs d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire

57Sur cette base, nous avons calculé les indices d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire sur les nœuds du réseau d’Indianapolis en considérant les chemins de Delaunay (isolement des effets spatiaux), et nous les avons retranchés aux indices calculés précédemment à partir des plus courts chemins sur ce même réseau : par construction, les valeurs obtenues traduisent les effets réseau associés à chacun des indices. Les Figures 14 et 15 présentent ces effets réseau en regard des indices bruts calculés précédemment (cf. Figure 5).

Figure 14 : indice d’éloignement moyen et effets réseau associés sur les sommets du réseau routier d’Indianapolis de 1954

Figure 14 : indice d’éloignement moyen et effets réseau associés sur les sommets du réseau routier d’Indianapolis de 1954

Figure 15 : indice de centralité intermédiaire et effets réseau associés sur les sommets du réseau routier d’Indianapolis de 1954

58Les effets réseau associés à l’éloignement moyen sont toujours positifs par construction (les éloignements réels sont comparés à des éloignements optimaux – donc moindres), aussi les avons-nous cartographiés par une déclinaison de valeurs dans les tons ocres.

59En revanche, les effets réseau associés à la centralité intermédiaire peuvent être positifs ou négatifs, selon que l’organisation des arêtes favorise un excès ou un défaut de concentration de relations au niveau des sommets, comparativement à la situation où les mises en relations s’effectuent selon les chemins de Delaunay : pour cette raison, nous avons cartographié ces effets réseau par des déclinaisons de valeurs dans les tons rouge (effets positifs) et les tons bleus (effets négatifs).

60Sur l’exemple que nous avons choisi, l’analyse combinée des effets réseau pour les indicateurs d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire permet de mieux cerner l’organisation des arêtes du réseau et leur apport dans la mise en relation des sommets sur le territoire.

61Il apparaît en premier lieu que l’organisation centre-périphérie observée sur les cartes traditionnelles de ces indicateurs ne s’explique pas exclusivement par les effets spatiaux : en l’occurrence, la structure du réseau renforce le rôle du centre géographique de la ville en favorisant son accessibilité (différentiels d’éloignement moyen faibles) et en accentuant son rôle de centre de transit (différentiels de centralité intermédiaire nettement positifs).

62Au-delà de cette première tendance, l’étude des effets réseau attire l’attention sur des zones singulières que les indicateurs bruts ne permettaient pas de repérer en raison du bruit spatial, à savoir :

  • des zones rendues peu accessibles et peu fréquentées de par l’organisation du réseau : il en est ainsi pour la partie ouest du réseau et un secteur situé au nord-est du réseau (différentiels d’éloignement moyen élevés, couplés à des différentiels de centralité intermédiaire négatifs) ;

  • à l’inverse, des zones valorisées, à l’image de certaines radiales d’accès au centre géographique et du cordon périphérique à l’extrême nord-est de la ville (différentiels d’éloignement moyen faibles, couplés à des différentiels de centralité intermédiaire positifs).

63De cette manière, les indicateurs calculés explicitent les propriétés induites exclusivement par l’organisation des arêtes du réseau. Dans un second temps, les résultats obtenus peuvent être intégrés à l’analyse contextuelle du réseau et fournir des informations permettant de distinguer les fondements spatiaux et réticulaires des phénomènes géographiques observés sur ce réseau.

64Bien évidemment, l’objet de notre travail n’est pas d’étudier in fine les propriétés du réseau de la ville d’Indianapolis, mais de comprendre la construction des indicateurs pour l’étude quantitative des réseaux et la décomposition de ceux-ci selon leurs contributions spatiales et réticulaires.

65À ce titre, la méthode que nous venons de développer répond à cette préoccupation pour l’étude statique des indicateurs d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire sur les sommets d’un réseau. Ainsi que nous allons le voir à présent, cette méthode se généralise aisément :

  • d’une part en s’appliquant à tout indicateur, pour peu que celui-ci soit fondé sur les caractéristiques (structurelles ou non) des plus courts chemins ;

  • d’autre part en offrant un cadre de référence permettant d’évaluer l’évolution des propriétés d’un réseau en même temps que sa structure se modifie.

Généralisation de la méthode

Application de la méthode à tout indicateur construit à partir des plus courts chemins

66L’étude des mécanismes intervenant dans le calcul de l’éloignement moyen et de la centralité intermédiaire nous a permis d’élaborer une méthode permettant de faire la part des effets spatiaux et des effets réseau. Le Tableau 1 détaille cette méthode pour tout indicateur I pouvant être successivement calculé au niveau de toute relation i j et, par agrégation, au niveau de tout sommet k. De fait, la méthode fonctionne non seulement pour les indices d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire, mais également pour tout indicateur (structurel ou non) reposant sur les caractéristiques des plus courts chemins entre paires de sommets du graphe.

67Pour illustrer les possibilités d’application de la méthode à de nouveaux indicateurs, nous avons arrêté notre choix sur le « rayon proximal ». Nous avons développé cet indicateur à l’occasion de notre travail sur la vulnérabilité des réseaux pour décrire l’amplitude des relations transitant par les différents sommets du graphe (Gleyze, 2005). En pratique, le calcul du rayon proximal d’un sommet s’effectue en isolant les relations origine-destination transitant par ce sommet et en moyennant l’écart constaté entre ce sommet et l’extrémité (origine ou destination) la plus proche pour chacune de ces relations. Ainsi, plus la valeur obtenue pour un sommet est faible, plus les relations qui y transitent démarrent ou aboutissent dans un voisinage proche de ce sommet.

68Par construction, cet indicateur rentre dans le cadre d’application de notre méthode, car il est le résultat d’une agrégation de valeurs observées sur les plus courts chemins (et pouvant être observées par ailleurs sur les chemins de Delaunay).

69Nous avons donc calculé le rayon proximal des sommets sur le réseau routier d’Indianapolis et nous avons isolé les effets réseau associés grâce à la méthode établie précédemment (cf. Figure 16).

Figure 16 : rayon proximal et effets réseau associés sur les sommets du réseau routier d’Indianapolis de 1954

70Outre les informations propres à l’indicateur de rayon proximal, les résultats obtenus démontrent l’intérêt de notre méthode d’isolement des effets réseaux.

71En l’occurrence, la carte brute des valeurs de rayon proximal (partie gauche de la Figure 16) est assez peu éloquente, car elle semble fortement orientée par l’organisation spatiale des sommets sur le territoire : de fait, les sommets centraux affichent de fortes valeurs, car ils ont plus de chances d’être traversés par des relations à longue distance – et inversement pour les sommets périphériques. Autour de cette tendance, les singularités de la distribution spatiale de cet indicateur sont peu visibles, à moins de disposer de la carte des effets réseau associés (partie droite de la Figure 16), sur laquelle on distingue nettement :

  • les zones particulièrement sollicitées pour supporter des relations à longue distance : il en est ainsi du centre géographique, mais également d’un secteur périphérique dans le nord-est de la ville,

  • à l’inverse, les zones traversées par des relations « encore plus locales » que le laisserait prévoir leur positionnement spatial : à savoir la frange ouest du réseau et certains secteurs limitrophes du centre géographique.

72Au-delà du sens même de cet indicateur et des informations que l’on peut en extraire, cet exemple démontre qu’il est possible d’isoler à moindre coût les effets réseau associés à un indicateur en calculant de pair les caractéristiques adéquates sur les plus courts chemins et sur les chemins de Delaunay associés.

Application de la méthode à l’étude dynamique des réseaux

73De la même manière qu’un indicateur peut être observé sur la configuration évolutive d’un réseau, les effets réseau associés à cet indicateur peuvent eux-mêmes être suivis dans le temps et apporter des informations utiles à la connaissance du réseau et de son évolution.

74Le travail de Muraco (1972) dont nous avons extrait notre exemple d’étude s’inscrit dans cette perspective, car il propose de calculer et de comparer des indicateurs d’accessibilité et de centralité sur les configurations du réseau routier d’Indianapolis de 1954 et de 1964 (cf. Figure 17). Ainsi que le lecteur l’aura sans doute noté, les changements structurels mis en avant par cette étude comparée concernent l’achèvement des voies périphériques et le renforcement de l’accès radial au nord-ouest de la ville.

Source : d’après Muraco (1972)

Figure 17 : graphes représentatifs du réseau routier de la ville d’Indianapolis en 1954 (partie gauche) et en 1965 (partie droite)

75Dans son étude comparée, Muraco (1972) évalue les modifications de l’accessibilité et de la structure des plus courts chemins en comparant les valeurs brutes ainsi que certains quantiles d’indicateurs appropriés. L’utilisation des quantiles permet notamment de repérer l’évolution spatiale de la distribution des valeurs des indicateurs.

76En pratique, Muraco exploite des indicateurs homogènes à l’éloignement moyen et à la centralité intermédiaire, et cerne son étude à une collection de relations entre huit sommets périphériques du réseau afin de mettre en évidence les modifications structurelles des plus courts chemins induites par l’achèvement du périphérique.

77Sans entrer dans les détails contextuels de cette étude, l’analyse des informations ainsi obtenues fait valoir une amélioration de l’accessibilité des sommets (notamment en périphérie), un déportement des chemins sur les nouvelles voies périphériques et un déséquilibre général est-ouest manifesté par une moindre accessibilité des sommets situés à l’ouest.

78Parallèlement à cette étude, nous avons calculé les effets réseau des indicateurs d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire sur la configuration du réseau de 1965 conformément à la méthode que nous avons établie plus haut. Les Figures 18 et 19 présentent ces effets réseau en regard de ceux calculés précédemment sur le réseau routier de 1954 (cf. Figures 14 et 15).

Figure 18 : effets réseau associés à l’indice d’éloignement moyen sur les sommets du réseau routier d’Indianapolis de 1954 (partie gauche) et de 1965 (partie droite)

Figure 18 : effets réseau associés à l’indice d’éloignement moyen sur les sommets du réseau routier d’Indianapolis de 1954 (partie gauche) et de 1965 (partie droite)

Figure 19 : effets réseau associés à l’indice de centralité intermédiaire sur les sommets du réseau routier d’Indianapolis de 1954 (partie gauche) et de 1965 (partie droite)

79La mise en évidence des effets réseau et leur comparaison avec les effets relevés dans la configuration initiale du réseau est intéressante, car elle rejoint les conclusions de Muraco et apporte un éclairage complémentaire à celles-ci.

80En l’occurrence, les gains d’accessibilité induits par la construction du périphérique sont immédiatement repérables sur les cartes d’éloignement moyen. Les gains procurés par les aménagements effectués sont particulièrement visibles sur la frange ouest du territoire, tandis que le gradient est-ouest observé par Muraco est sensiblement attenué d’une configuration à l’autre. Au-delà de ce constat, la cartographie des effets réseau nous permet de noter qu’un petit secteur ouest ainsi qu’un large secteur nord-est restent « sous-desservis » par le réseau en regard de ce que l’on pourrait attendre compte-tenu de leur positionnement spatial. Ces déficits d’accessibilité ne sont pas étonnants, car les aménagements effectués n’apportent aucune amélioration aux liaisons radiales de ces secteurs, déjà peu efficaces dans la configuration initiale.

81La lecture des effets réseaux associés à l’indice de centralité intermédiaire met également en valeur l’impact de la construction des voies périphériques, essentiellement sur la frange ouest du territoire. Cependant, la construction de ce périphérique n’est pas tant remarquable par l’accessibilité et la fréquentation qu’elle suscite (les effets réseau se situent dans la moyenne de ceux observés globalement sur le réseau) que par le déséquilibre qu’elle maintient entre le centre et une périphérie intermédiaire. En l’occurrence, l’aménagement génère sur le réseau un nouveau déséquilibre, entre le centre géographique (bonne accessibilité et forte centralité) et la couronne intermédiaire qui ne bénéficie aucunement des retombées de la construction du périphérique (existence de secteurs relativement enclavés et centralité défaillante, par défaut de liaisons radiales efficaces).

82En ce sens, l’aménagement a rectifié les indicateurs des zones concernées à des niveaux « attendus », mais au-delà des bénéfices planifiés et réalisés, la cartographie des effets réseau montre que l’organisation résultante présente toujours des déséquilibres, notamment au niveau d’une couronne intermédiaire partiellement en retrait dans chacune des deux configurations.

Conclusion - Perspectives

83L’évaluation d’indicateurs sur les sommets d’un réseau d’infrastructure met en lumière les propriétés de ce réseau, compte-tenu de l’agencement et des modalités de parcours de ses arêtes (effets réseau) et du positionnement spatial de ses sommets (effets spatiaux). Dans le domaine de la géographie quantitative, l’utilisation et l’interprétation de ces indicateurs nécessite de pouvoir isoler les effets réseau, afin d’évaluer in fine la contribution propre du réseau dans la mise en relation des lieux.

84Dans cette perspective, nous avons développé la notion de « chemins de Delaunay » afin de rendre compte de l’offre optimale que le réseau serait en mesure fournir si ses arêtes exploitaient au mieux la répartition spatiale des sommets sur la zone d’emprise du réseau. De cette manière, tout indicateur calculé à partir des chemins de Delaunay permet d’isoler les effets spatiaux propres à ce même indicateur calculé traditionnellement à partir des plus courts chemins sur le réseau d’étude. Par comparaison des deux modes de calcul, nous sommes alors en mesure d’isoler les effets réseau liés à cet indicateur.

85L’exploitation des informations associées remplit alors l’objectif que nous nous sommes fixés initialement, c’est-à-dire l’évaluation de l’apport du réseau dans la mise en relation des lieux au travers des indicateurs qui en traduisent les différents aspects, c’est-à-dire non seulement les indices d’éloignement moyen et de centralité intermédiaire, mais également tous les indicateurs – structurels ou non – construits à partir des informations sur les plus courts chemins.

86D’un point du vue pratique, la méthode que nous avons élaborée est très simple à mettre en oeuvre, car elle pose pour seule contrainte de pouvoir identifier les chemins de Delaunay associés aux plus courts chemins impliqués dans le calcul des indicateurs. L’algorithme de calcul des chemins de Delaunay est lui-même très simple à mettre en œuvre et n’alourdit pas significativement le calcul des indicateurs (Gleyze, 2005).

87Sur cette base, la cartographie des effets réseau associés à un indicateur promet d’être très aisée au sein d’une plateforme de type SIG, car :

  • d’une part les informations nécessaires au calcul des effets spatiaux (caractéristiques des chemins de Delaunay) peuvent être facilement récoltées en même temps que celles utilisées dans le calcul de l’indicateur brut (caractéristiques des plus courts chemins) ;

  • d’autre part le calcul final des effets spatiaux (et donc des effets réseau) procède de la même méthode d’agrégation que celle employée pour le calcul de l’indicateur brut.

88En intégrant cette méthode aux algorithmes de calcul des indicateurs sur un SIG, l’utilisateur disposerait ainsi de données cartographiables venant appuyer l’interprétation des indicateurs bruts pour lesquels le travail de décomposition des effets spatiaux et des effets réseau s’effectuait jusqu’à présent de manière exclusivement qualitative.

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Notes

1  Traduit de l’anglais par nous

2  Les centralités intermédiaires sont exprimées au prorata du nombre de plus courts chemins transitant par le sommet considéré parmi l’ensemble des plus courts chemins réalisant l’ensemble des relations origine-destination possibles sur le graphe.

3  Eventuellement en ligne droite par morceaux si l’espace d’étude n’est pas convexe

4  Le tracé optimal d’une route entre deux sommets est la ligne droite. La longueur d’une telle route correspond donc à la distance euclidienne entre ces deux sommets. Bien qu’« optimale », cette distance doit être corrigée afin de tenir compte des courbures locales (altimétriques et planimétriques) contraintes par le relief et par l’occupation des sols. Cette correction peut être effectuée en moyenne par un coefficient multiplicatif constant : Cattan & Grasland (1997) suggèrent d’ajuster ce coefficient à 1,3, en accord avec le rapport moyen observé entre les tracés routiers réels et leurs équivalents euclidiens.

5  Les antennes-relais Z sont symbolisées par des points et leurs aires d’influence correspondent par construction à leurs cellules de Voronoï (découpage de l’espace en traits fins). Sur cet espace, un individu se déplaçant de s à t est successivement associé aux antennes-relais reliées par un trait épais, depuis Zi jusqu’à Zj.

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Table des illustrations

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Pour citer cet article

Référence électronique

Jean-François Gleyze, « Effets spatiaux et effets réseau dans l’évaluation d’indicateurs sur les nœuds d’un réseau d’infrastructure », Cybergeo : European Journal of Geography [En ligne], Systèmes, Modélisation, Géostatistiques, document 370, mis en ligne le 15 avril 2007, consulté le 26 mai 2017. URL : http://cybergeo.revues.org/5532 ; DOI : 10.4000/cybergeo.5532

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Auteur

Jean-François Gleyze

Institut Géographique National, Service de la Recherche, Laboratoire COGIT, 2-4 avenue Pasteur, F-94165 Saint-Mandé, Francejean-francois.gleyze@ign.fr

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